Спектр одиночного импульса имеет следующий вид:
Рис. 10.16. Спектр одиночного импульса
Из спектра одиночного импульса ясно, что чем меньше , тем шире спектр. При ® 0 – спектр равномерный; а при = – имеем на спектре одну постоянную составляющую.
Эта связь вытекает непосредственно из общего свойства преобразования Фурье.
Пусть ƒ(t ) соответствует спектр F (ω).
Изменим масштаб функции ƒ(t ) по оси времени в a раз и рассмотрим спектр функции a ƒ(at ):
заменим переменные at = z ; adt = dz ; t = z /a , то есть длительность функции ƒ(t ) уменьшится в a раз, во столько же раз возрастет ширина ее спектра.
Вопрос о соотношении между длительностью импульса и шириной его спектра имеет громадное практическое значение. В вычислительной технике необходимы короткие и мощные импульсы и в тоже время требуется, чтобы спектр импульса был как можно уже, так как широкие спектры вызывают трудности при создании аппаратуры.
Эти требования противоречивы.
Возникает вопрос: нельзя ли найти такие сигналы, которые обладали бы ограниченным спектром и одновременно ограниченной длительностью? Формализм преобразования Фурье этого не позволяет, однако для реальных сигналов могут быть введены разумные ограничения, которые позволяют ограничить либо Δt , либо Δƒ, либо и то и другое.
Наиболее удобным в этом смысле, как мы уже говорили ранее, является энергетический критерий. При этом можно представить себе следующие модели сигналов:
1. Сигналы ограничены во времени . Спектр – неограничен теоретически; физически он всегда ограничен и учитывается только та часть спектра, где сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.
2. Сигналы имеют ограниченный спектр , то есть математически это периодические, неограниченные во времени сигналы. Фактически, реальный процесс всегда ограничен во времени, поэтому учитывается только интервал времени, в котором сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала.
где t 0 – часто задается естественно: для симметричного импульса t 0 = 0; для одиночного так же t 0 = 0 и формула имеет вид:
.
3. Сигналы, у которых и длительность (Δt ) и ширина спектра (Δƒ) ограничены как интервалы, в которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Математический аппарат преобразования Фурье дает в этом случае приближенные разультаты.
При ограничениях по Δt и Δƒ можно поставить следующую задачу – отыскать такую форму сигнала, для которой произведение Δt · Δƒ достигает min.
Такому условию соответствует импульс, имеющий колоколообразную форму, которая описывается кривой Гаусса (кривой нормального распределения).
Рис. 10.17. Кривая Гаусса
Произведение Δt · Δƒ может быть уменьшено только до определенного предела:
Δt · Δƒ ≈ const > 0,
где const зависит от выбора определения Δƒ и Δt .
Приведем значения Δt · Δƒ для различных видов сигналов в предположении, что
,
где η = 0.9.
Δt · Δƒ – max для импульсов с разрывом (экспонента, прямоугольник); меньше для импульсов с разрывом в первой производной (треугольник и косинусоидальный) и наименьшее значение у колоколообразного импульса, у которого функция непрерывна со всеми своими производными. http://сайт/
Наиболее плодотворной и близкой к реальной действительности является модель с ограниченным спектром.
Этому способствует тот факт, что спектр мощности реального сигнала достаточно быстро спадает вне интервала частот, на который приходится основная часть мощности.
В инженерной практике принимают (в первом приближении независимо от формы сигнала):
Δt · Δƒ ≈ 1.
Практически, независимо от формы сигнала содержится > 90% энергии.
1. Если T имп = 3млсек, то какая требуется полоса частот, чтобы пропустить основную долю энергии?
.
2. Какова длительность телевизионных импульсов, если F TV max = 6мггц?
Литература: [Л.1], с 50-51
[Л.2], с 65-66
[Л.3], с 24-25
Для решения практических задач радиотехники крайне важно знать значения длительности и ширины спектра сигнала, а также соотношение между ними. Знание длительности сигнала позволяет решать задачи эффективного использования времени, предоставляемого для передачи сообщений, а знание ширины спектра – эффективного использования диапазона радиочастот.
Решение указанных задач требует строгого определения понятий «эффективная длительность» и «эффективная ширина спектра». На практике существует большое число подходов к определению длительности. В том случае, когда сигнал ограничен во времени (финишный сигнал), как это имеет место, например, для прямоугольного импульса, определение длительности не встречает затруднений. Иначе обстоит дело, когда теоретически сигнал имеет бесконечную длительность, например, экспоненциальный импульс
В этом случае в качестве эффективной длительности может быть принят интервал времени , в течение которого значение сигнала . При другом способе в качестве выбирают интервал времени, в течение которого . То же самое можно сказать и в отношении определения эффективной ширины спектра .
Хотя в дальнейшем, некоторые из этих способов будут использоваться при анализе радиотехнических сигналов и цепей, следует отметить, что выбор способа существенно зависит от формы сигнала и структуры спектра. Так для экспоненциального импульса более предпочтителен первый из указанных способов, а для сигнала колоколообразной формы – второй способ.
Более универсальным является подход, использующий энергетические критерии. При таком подходе в качестве эффективной длительности и эффективной ширины спектра рассматриваются соответственно интервал времени и диапазон частот, в пределах которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала
, (2.52)
, (2.53)
где – коэффициент, показывающий, какая часть энергии сосредоточена в интервалах или . Обычно величину выбирают в пределах 
.
Применим критерии (2.52) и (2.53) для определения длительности и ширины спектра прямоугольного и экспоненциального импульсов. Для прямоугольного импульса вся энергия сосредоточена в интервале времени или , поэтому его длительность . Что касается эффективной ширины спектра, то установлено, что более 90% энергии импульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектра. Если рассматривать односторонний (физический) спектр импульса, то ширина первого лепестка спектра составляет в круговых частотах или в циклических частотах. Отсюда следует, что эффективная ширина спектра прямоугольного импульса равна
Перейдем к определению и экспоненциального импульса. Полная энергия импульса составляет
.
Воспользовавшись (2.52), получим
.
Вычислив интеграл в левой части уравнения и решив его, можно прийти к следующему результату
.
Спектр экспоненциального импульса найдем, воспользовавшись преобразованием Фурье
,
откуда следует
.
Подставляя это выражение в (2.53) и решая уравнение, получим
.
Найдем произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра. Для прямоугольного импульса это произведение составляет
,
или для циклических частот
.
Для экспоненциального импульса
Таким образом, произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра одиночного сигнала есть постоянная величина, зависящая только от формы сигнала и величины коэффициента . Это означает, что при уменьшении длительности сигнала его спектр расширяется и наоборот. Этот факт уже отмечался пи рассмотрении свойства (2.46) преобразования Фурье. На практике это означает, что невозможно сформировать короткий сигнал, обладающий узким спектром, что является проявлением физического принципа неопределенности .
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 § 2.10), либо на уровне от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно или . Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.
Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ
Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.
По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала можно определить выражением
где середина импульса определяется из условия
Имеется в виду, что функция интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией).
Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением
Так как модуль спектра не зависит от смещения во времени, можно положить Наконец, сигнал можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно,
При этих условиях выражения для и принимают вид
и, следовательно, произведение длительность x полоса
Нужно иметь в виду, что являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от и . Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине .
Произведение зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение соответствует колоколообразному импульсу.
Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для видно, что функция с увеличением t должна убывать быстрее, чем , а функция - быстрее, чем так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).
В частности, это относится к спёктру строго прямоугольного импульса, когда
В этом случае выражение для не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях.
Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе от до некоторой граничной частоты :
Относя затем к полной энергии импульса Э, определяем коэффициент
характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.
В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе .
Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)
Вычислив интеграл, получим
где - интегральный синус.
Переходя к аргументу , записываем
Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия
Рис. 2.23. Доля энергии сигнала в полосе (а) и деформация импульса при усечении спектра (б)
Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем
где - полная энергия гауссовского импульса, а функция
Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п. 3 § 2.10 и равна , аргумент функции можно записать в форме Функции для трех импульсов представлены на рис. 2.23, а.
Итак, значение произведения требующееся для заданного максимально для прямоугольного импульса (при ) и минимально для гауссовского. В частности, уровню соответствуют значения , равные 1,8; 0,94 и 0,48.
Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то должно быть гораздо больше единицы. Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) и его деформация при усечении спектра на уровнях .
В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.
Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности, измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.
Вопрос о величине произведения длительность X полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при взаимных помехах радиостанций. С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной.
2. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ
Для выявления связи между поведением в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок.
Единичный импульс является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот -
Поэтому можно утверждать, что сигнал , спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе дельтафункцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс).
Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида является единичный скачок и . Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала по закону свидетельствует о наличии в функции скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально указывает на наличие дельта-функции в составе производной Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала более высоких порядков.
Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов).
В первом примере (рис. 2.24, а) производная определяется выражением
и спектральная плотность функции в соответствии с табл. 2.1
Для определения спектральной плотности сигнала , являющегося интегралом от , можно исходить из выражения
В данном случае операция законна, поскольку [см. (2.60)].
При спектральная плотность . Как видно из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции в первой производной сигнала s(t).
Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное количество слагаемых, поэтому теоретически ширина спектра бесконечна. Поэтому для таких сигналов вводится понятие практической ширины спектра. Если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широка, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Ширина полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.
Существуют несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала:
1. Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре. Тогда частота гармоник и определит ширину спектра сигнала (∆ ω С ):
2. Энергетический критерий. Можно отбрасывать те гармоники, суммарная мощность которых меньше 10 % общей мощности сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сигнале гармоники.
Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить закономерности, общие для всех сигналов:
чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы,
чем больше пауза между импульсами, тем шире спектр сигнала, т. е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.
Распределение мощности сигнала по гармоникам
Периодические сигналы характеризуются средней мощностью за период:
.
Если s – это напряжение или ток, то P – это мощность на сопротивлении 1 Ом.
Вместо s ( t ) можно подставить ряд Фурье:
,
,
где
- мощность постоянной составляющей,
-
мощность n
-й
гармоники.
Средняя мощность периодического сигнала равна сумме мощности постоянной составляющей P 0 и сумме средних мощностей каждой гармоники P n .
,
где
N
– кол-во учитываемых (пропускаемых
устройством) гармоник. Например,
,
если ∆P
= 90 % от полной мощности сигнала.
Практическая ширина спектра при этом равна
,
где N – номер высшей учитываемой гармоники, т. е. практическая ширина спектра равна высшей учтенной гармонике.
Требуемые полосы пропускания для различных задач:
Спектральный анализ непериодических сигналов
Спектральный анализ непериодических сигналов – это описание и исследование свойств непериодических сигналов в частотной области. Спектральный анализ непериодических сигналов проводится на основе интегральных преобразований Фурье.
Прямое преобразование Фурье:
где
- величина комплексная.
Прямое преобразование Фурье дает переход от временной модели сигнала к частотной модели
[
]
.
Обратное преобразование Фурье:
Обратное
преобразование Фурье восстанавливает
сигнал по его частотной модели [
]
.
Эта пара преобразований Фурье устанавливает взаимно-однозначное соответствие между двумя моделями сигнала – временной и частотной моделями:
.
Функция
- это “спектральная
плотность
”,
или “спектральная
функция
”,
или, просто, спектр непериодического
сигнала s
(t
)
.
Так как
-
непрерывная функция частоты, то спектр
непериодического сигнала является
непрерывным спектром (в отличие от
дискретного спектра периодических
сигналов).
в
общем случае является комплексной
функцией и может быть представлена в
показательной форме:
Различают амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала.
Амплитудный спектр – это частотное распределение модуля спектральной плотности:
Фазовый спектр – это частотное распределение фаз (аргументов) спектральной плотности:
.
Амплитудный
спектр – это четная функция частоты,
т. е.
.
Фазовый спектр – это нечетная функция
частоты, т. е.
.
Пример спектральной диаграммы:
Амплитудный спектр
Ф
азовый
спектр