Когда экспериментатор не располагает естественными часами системы, подобными периодическому возбуждению, для получения отображения Пуанкаре приходится применять более сложные методы (см. также ).
Пусть движение представлено траекторией в трехмерном пространстве с координатами (x,y,z). Для построения отображения Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение которой имеет вид
как показано на рис. 4.11. Отображение Пуанкаре состоит из тех точек этой плоскости, в которых траектория проходит сквозь нее с определенной стороны (т.е. если мы определим лицевую и заднюю стороны плоскости (4.6.3), то следует фиксировать только те точки траектории, в которых она проходит с лица на обратную сторону, или наоборот, но не в обоих направлениях).
В эксперименте это можно сделать с помощью механического или электронного индикатора уровня. Примеры отображений Пуанкаре, построенных по положению, обсуждаются ниже.
В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12, имеются три удобные переменные, описывающие его состояние: координата х, скорость v, а также фаза возбуждающего сигнала . Если измерения проводятся в том положении, когда масса наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре составляется набором значений , где - скорости до или после соударения, - момент времени соударения.
Рис. 4.11. Сечение Пуанкаре общего положения для движения динамической системы третьего порядка.
Рис. 4.12. Схематическое изображение экспериментальной установки для построения течения Пуанкаре по положению.
В этом случае точки отображения можно откладывать в цилиндрическом пространстве с .
На рис. 4.12 показан пример экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре для . Когда масса наталкивается на ограничитель движения, тензодатчик или акселерометр выдают резкий сигнал. Этот сигнал можно использовать для включения устройства запоминания данных (подобного запоминающему или цифровому осциллографу), которое запоминает значение скорости тела. (В случае, показанном на рис. 4.12, для измерения положения используется линейный дифференциальный трансформатор, и его сигнал дифференцируется электронным устройством для получения скорости.)
Рис. 4.13. Отображение Пуанкаре, построенное по положению осциллирующей массы с упругими ограничителями движения (см. рис. 4.12).
Для определения фазы , изменяющейся между 0 и мы генерировали периодический пилообразный сигнал, находящийся в фазе с сигналом возбуждения, причем минимальное нулевое значение соответствовало а максимальное напряжение - . Генерируемый столкновением резкий импульс напряжения используется для включения запоминающего устройства, которое фиксирует значение пилообразного напряжения, а также величину скорости до или после удара. Отображение Пуанкаре для массы, отскакивающей от двух упругих стенок, которое получено с помощью техники , показано на рис. 4.13.
Еще один пример установки такого же типа для построения отображения Пуанкаре хаотических вибраций двигателя показан на рис. 4.14.
Рис. 4.14. Схема экспериментальной установки для получения отображений Пуанкаре по положению для периодически возбуждаемого ротора с нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота.
В этом примере двигатель характеризуется нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота, которое создается постоянным током в одном из полюсов статора, а ротор с постоянным магнитом вращается благодаря синусоидальному моменту, который создается переменным током в соседней катушке. Это устройство описывается уравнением
Для получения отображения Пуанкаре мы выбрали плоскость в трехмерном пространстве , на которой (рис. 4.14). Экспериментально это осуществляется с помощью щели в тонком диске, насаженном на ось ротора, и светодиода с детектором, которые генерируют импульс напряжения каждый раз, когда ротор пересекает плоскость (см. рис. 4.14). Затем этот импульс используется для регистрации скорости и фиксирования времени. Полученные данные можно вывести непосредственно на запоминающий осциллограф или же с помощью компьтютера их можно перевести в полярные координаты, как показано на рис. 4.15.
Рис. 4. 15. Отображение Пуанкаре, построенное по положению для хаотического режима нелинейного ротатора (см. рис. 4.14).
Пуанкаре предложил ставший классическим метод анализа динамических систем.
Этот метод позволяет заменить потоковую систему n-го порядка на отображение (n-1)-го порядка с дискретным временем, называемое отображением Пуанкаре.
Определение отображения Пуанкаре гарантирует, что его предельные множества
соответствуют предельным множествам указанной потоковой системы.
Полезность отображений Пуанкаре состоит в понижении порядка системы
и в том факте, что они служат мостом между системами с непрерывным и
дискретным временем.
Определения
Определение отображения Пуанкаре различно для автономных и неавтономных
систем. Рассмотрим оба этих случая отдельно.
Отображение Пуанкаре для неавтономных систем
Напомним, что периодическая во времени неавтономная система n-го порядка с
минимальным периодом T может быть преобразована в автономную систему (n+1)-го
порядка в цилиндрическом фазовом пространстве с помощью преобразования
Рассмотрим n-мерную гиперплоскость
Определенную как
Каждые T секунд траектория системы пересекает гиперплоскость "сигма" (см. рис.1)
Рис.1 Отображение Пуанкаре для неавтономной системы 1-го порядка.
Получаемое отображение
Определяется как:
P N называется отображением Пуанкаре неавтономной системы.
Индекс
N указывает на неавтономную систему, и служит для отличия этого отображения
от отображений Пуанкаре, которые используются в автономных системах.
Отметим, что для фиксированного t, ф t есть диффеоморфизм и,
следовательно, P n можно представлять себе двумя способами:
1. P N показывает, какое значение примет x через T секунд.
Это
называется отображением сдвига на время Т.
2. Орбита
Моделирует отдельную траекторию с интервалом в T секунд, т.е.
Это похоже на стробоскопическое высвечивание точек траектории с периодом T.
Отображение Пуанкаре для автономных систем
Рассмотрим автономную систему n-го порядка с предельным циклом Г, показанном
на рис.2.
Рис.2 Отображение Пуанкаре для автономной системы 3-го порядка.
Пусть x * - точка на предельном цикле, и пусть "сигма"
- n-мерная гиперплоскость, трансверсальная к Г в точке x * .
Траектория, выходящая из x * , через T секунд снова попадет в точку
x * на гиперплоскости "сигма" (T - минимальный период предельного
цикла). В силу непрерывности потока ф t по начальным условиям,
траектории, начинающиеся на "сигма" в достаточно малой окрестности точки
x * , будут, примерно, через T секунд пересекать "сигма" вблизи
точки x * .
Следовательно, ф t и "сигма" определяют
отображение P A в некоторой окрестности U точки x *
в другую окрестность U точки x * .
P A есть отображение
Пуанкаре автономной системы.
Замечания:
1. P A определено локально, то есть, в окрестности x * . В
отличие от неавтономного случая, здесь нет гарантии, что траектория,
вышедшая из точки на "сигма" снова пересечет "сигма".
2. Для эвклидова фазового пространства, точка P A (x) не является первой точкой, в которой поток ф t пересечет "сигма"; ф t (x) должен пройти через "сигма" по крайней мере еще один раз, прежде чем возвратиться в U. В этом, также, заключается отличие от цилиндрического фазового пространства на рис.1.
3. P A является диффеоморфизмом и, следовательно, обратимо и дифференцируемо.
Только что приведенное определение отображения Пуанкаре является стандартным
определением, взятым из теории динамических систем, но оно редко
используется при численном моделировании, поскольку предполагает
предварительное знание положения предельного цикла.
На практике выбирают (n-1)-мерную гиперплоскость "сигма", которая разделяет
R N на две области:
Где h есть вектор, нормальный к "сигма" и x - некоторая точка, лежащая на гиперплоскости, и
Скалярное произведение. Если "сигма" выбрана правильно, то наблюдаемая траектория будет повторно пересекать "сигма", переходя из "сигма-" в "сигма+", и затем обратно и т.д., как показано на рис.3.
Рис.3 Типичная траектория, пересекающая секущую плоскость "сигма".
Последовательность {x 1 , x 3 , x 5 , ...}
является орбитой одностороннего отображения Пуанкаре P + , а
{x 2 , x 4 , ...} - орбитой P - . Полная
последовательность {x 1 , x 2 , ...} является орбитой
двустороннего отображения Пуанкаре P +- .
Для заданной гиперплоскости "сигма" могут быть определены три различных отображения Пуанкаре:
P + : P + (x) - это точка, в которой ф t (x) первый раз пересекает "сигма" в положительном направлении, т.е.
P - : P - (x) - это точка, в которой ф t (x) первый раз пересекает "сигма" в отрицательном направлении, т.е.
P +- : P +- (x) - это первая точка, в которой
ф t (x) пересекает "сигма" в каком-либо направлении при t>0.
P + и P - называются односторонними отображениями
Пуанкаре, в то время как P +- называется двусторонним отображением
Пуанкаре. Отметим, что точка, в которой траектория касается гиперплоскости,
т.е. x на "сигма", для которой
Удовлетворяет критериям каждого из трех отображений.
Для любого из этих отображений нет гарантии, что оно хорошо определено, поскольку ф t (x) может никогда не пересечь "сигма" для t>0. Для системы с эвклидовым фазовым пространством, которая не стремится к состоянию равновесия, всегда можно выбрать гиперплоскость, для которой все три отображения хорошо определены. Это утверждение не верно для системы с неэвклидовым фазовым пространством.
В качестве примера рассмотрим отображение Пуанкаре неавтономной системы. Поскольку траектория всегда пересекает "сигма" в одном и том же направлении, одно из односторонних отображений Пуанкаре оказывается неопределено; будет это P + или P - , зависит от выбора вектора нормали h.
Если одно из отображений хорошо определено, непрерывность, и, следовательно, дифференцируемость еще не гарантированы; однако, если f трансверсально к "сигма" в точке x и в точке P(x), тогда отображение локально дифференцируемо.
Отображение P A связано с тремя определенными выше отображениями
следующим образом.
В эвклидовом фазовом пространстве траектория, выходящая
из фиксированной точки x, может пересекать "сигма" более чем один раз,
прежде чем возвращается в x * .
Пусть будет k пересечений, включая
окончательное возвращение в x * , и предположим, что все
пересечения являются трансверсальными.
Тогда P A эквивалентен k-раз примененному отображению P + ,
то есть
P A (x)=P +- k (x).
Заметим, что в эвклидовом
пространстве k всегда будет четным, и следовательно P A будет
эквивалентно k/2-применениям P + или P - ; будет ли
применено P + или P - , зависит от того, направленно
f(x *) в "сигма+" или "сигма-".
Предельные множества отображений Пуанкаре
Рассмотрим взаимосвязь между предельными множествами отображений Пуанкаре и
предельными множествами исходных потоков. Кроме специально оговоренных
случаев, обсуждение будет касаться устойчивых предельных множеств систем в
эвклидовом фазовом пространстве.
Точки равновесия
Не существует предельного множества отображения Пуанкаре, соответствующего
точке равновесия.
Периодические решения
Обсудим отдельно автономный и неавтономный случай, но вначале приведем два
определения.
x * - есть неподвижная точка отображения P, если
x * =P(x *).
Множество {x * 1 ,...,x * K } - есть
замкнутая орбита периода K отображения P, если x * k+1 =
P k , где k=1,...,K-1 и
x * 1 =P * K .
Неавтономные системы
Решение периода один системы с непрерывным временем соответствует неподвижной
точке x * отображения Пуанкаре P N . Субгармоника K-го
порядка соответствует замкнутой орбите периода
K{x * 1 ,...,x * k } отображения
Пуанкаре.
Замечание: Отображение Пуанкаре "замораживает" любую периодическую компоненту
решения, которая имеет период, соизмеримый с периодом вынуждающей силы. Такое
действие аналогично стробоскопическому высвечиванию изображающей точки.
Автономные системы
P A: предельный цикл потока ф t соответствует неподвижной
точке x * отображения P A .
Замкнутая орбита периода K отображения P A указывает на субгармоническое решение исходного потока. Напомним, что надо быть осторожным при использовании термина "субгармоническое решение" в автономных системах. В частности, если минимальный период цикла Г есть T, то минимальный период субгармоники K-го порядка будет близок, но обычно не равен KT, поскольку, в отличие от отображения Пуанкаре для неавтономных систем P A , определяется из условия пересечения, а не из временных условий. Таким образом, время возврата в x * равно T, но время возврата для точки вблизи x * близко, но обычно не равно T.
P + , P - и P +- : Для этих отображений классификация предельных циклов не является однозначной, поскольку предельное множество отображения Пуанкаре зависит от положения секущей гиперплоскости "сигма". В частности, для заданного предельного цикла исходного потока, различный выбор "сигма" может приводить к возникновению замкнутых орбит различных порядков (рис.4).
Рис.4 Предельные множества односторонних и двусторонних отображений Пуанкаре
зависят от выбора секущей плоскости "сигма".
Наиболее общее утверждение, которое может быть сделано, состоит в том, что
замкнутая орбита одного из этих отображений Пуанкаре соответствует
предельному циклу исходного потока.
В эвклидовом фазовом пространстве, если
предельный цикл пресекает "сигма" трансверсально при каждом пересечении, то
порядок соответствующей замкнутой орбиты отображения P + равен
порядку соответствующей замкнутой орбиты отображения P - и равен
половине порядка соответствующей замкнутой орбиты отображения
P +- .
Почти любое возмущение гиперповерхности "сигма" приводит к
исчезновению нетрансверсальных пересечений (касаний). Обобщая, можно
сказать, что все замкнутые орбиты отображения P +- имеют четный
порядок.
Если быть внимательным, то можно с помощью этих отображений определить
субгармонику. Рассмотрим замкнутую орбиту периода m (с трансверсальными
пересечениями), которая соответствует предельному циклу Г с периодом T. Если
вблизи имеется замкнутая орбита периода mk, то она представляет собой
субгармонику K-го порядка по отношению к Г, и период соответствующего ему
исходного предельного цикла равен kT.
Ключевым словом здесь является слово
"вблизи", поскольку, если две орбиты не расположены близко друг от друга,
они могут быть порождены совершенно невзаимосвязанными предельными циклами.
Существует множество методов исследования нелинейных систем. В данной задаче для исследования применялся один из самых эффективных и информативных методов - отображение Пуанкаре на фазовой плоскости. С помощью отображения Пуанкаре можно отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например: периодические, квазипериодические, хаотические и т.д.
Одним из видов математических моделей динамики является разностное уравнение, иначе называемое отображением. Дадим также другое, более точное, определение понятия отображения при математическом исследовании динамических систем.
Отображением
называют временную выборку данных
{x(t),x(
),…x(
)},для
которой вводят обозначение
=
x(
).
В простом детерминированном отображении
величину x(n+1)
можно
найти по значению
:
=f(
).
(4)
Мы
будем рассматривать отображение Пуанкаре
для систем с вынужденными колебаниями,
тогда если
x(
)и
(
),то
последовательность точек фазового
пространства будет представлять собой
двумерное отображение:
=
f(
,
)
=
g(
,
)
(5)
Если
моменты выборки
подчиняются
правилу:
=
n*T+
(6)
Где Т - период вынуждающего движения, то это отображение называется отображением Пуанкаре. Перечислим классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре:
а) Конечный набор точек - периодическое или субгармоническое колебание.
б) Замкнутая кривая - квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот.
в) Фрактальный набор точек - "странный" аттрактор в трехмерном фазовом пространстве.
г) Бесформенный набор точек – Возможны четыре случая:
1) Динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе.
2) "Странный" аттрактор, но диссипация в системе очень слаба.
3) "Странный" аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями.
4) Квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот.
Постановка задачи
Дано уравнение движения маятника с колеблющейся точкой подвеса (1).
За начальные условия, приняты следующие величины:
=0,
=
Также начальным параметрам, которые в ходе исследования оставались неизменными, были следующие значения:
=0.25,
=1,
=1.56
Задача
состояла в изучении поведения маятника
при различных значениях амплитуды (
)
колебания точки подвеса. Значение
изменялось на интервале
с
шагом d
= 0.001, от 3 до 5 с шагом 0.1, и
далее от 5 до 8 с шагом 0.3, от 8 до 10 с шагом
0.5.
Исследование
проводилось при помощи фазового портрета
системы и построения отображения
Пуанкаре на фазовой плоскости.
Физической
моделью данной системы является обычный
физический маятник, точка подвеса
которого совершает гармонические
колебания с амплитудой 2
.
Уравнение движения данной системы
представляет собой дифференциальное
уравнение второго порядка. Существует
два способа его решения: аналитический
и численный. Аналитическое решение
(если оно, конечно, существует) очень
сложно, и поэтому задача решалась только
численно. В качестве численного метода
решения задачи использовался метод
Рунге - Кутта четвертого порядка. Алгоритм
решения уравнения этим методом:
Сначала
уравнение (1) представляется в виде
системы двух уравнений первого порядка:
=
=
(7)
Или
=
(
)
=
(
)(8)
где:
(
)
=
(
)
=
Далее
по методу Рунге-Кутта вводятся
для
:
=
(
)
=
(
)
=
(
)
(9)
=
(
)
и
для
:
=
(
)
=
(
)
=
(
)
(10)
=
(
)
Далее
определяем
и
по формулам:
=
,
=
(11)
Обсуждение результатов
Анализ
результатов показывает, что при малых
значениях
колебания являются затухающими. На рис.
1 изображен фазовый портрет таких
колебаний при
=0.15.
рис.1.
=
0.15 – Затухающие колебания
Далее
при
колебания принимают субгармонический
характер (удвоение периода). Пример
фазового портрета таких колебаний
изображен на рисунке 4.
При
наблюдаются затухающие колебания.
При
колебания становятся гармоническими.
Затем
при
вновь наблюдается бифуркация (удвоение)
периода.
На отображении Пуанкаре две точки,
изображенные на Рис. 2, которые означают,
как уже говорилось, удвоение периода.
Рис.
2.
=0.56
– Б
ифуркация
Периода
При
колебания принимают квазипериодический
характер (утроение, учетверение периода).
При
колебания принимают характер странного
аттрактора, отображение Пуанкаре для
которого при
=0.65
изображено на рис 3.
рис.3.
=
0.65 - "Странный" аттрактор
В
точке
=
0.
780 наблюдается особое явление переходного
хаоса: при вырождении на отображении
Пуанкаре
восемь
точек. Фазовый портрет системы и
отображение Пуанкаре
для данного случая
изображены на рис. 4,1 и Рис. 4,2.
Рис. 4,1 Отображение Пуанкаре Рис. 4,2 Фазовый портрет
=0.78
- Восьмикратный период
При
колебания становятся периодическими
- на отображении Пуанкаре
-
одна точка.
При
наблюдаются субгармонические колебания
с двойным периодом.
При
наблюдаются квазипериодические колебания
с четверным периодом.
При
наблюдаются квазипериодические колебания
с восьмерным периодом.
При
вновь наблюдался "странный"
аттрактор.
=3.4
- затухающие колебания.
- субгармонические колебания с двойным
периодом.
={10.0}
- периодические колебания, Фазовый
портрет показан на рис. 5.
={9.9;
8.3}
- хаос; динамическая система со слишком
сильным сигналом или шумом на входе.
рис.5.
=10.0
- Периодические колебания
В
результате выполнения задачи мы
исследовали зависимость характера
колебаний маятника
с колеблющейся (в вертикальной плоскости)
точкой подвеса в зависимости от амплитуды
вынуждающей силы. Были подтверждены
распределения областей
значений нарастающих / затухающих
изображенные на Рис. 1 – при
и,
затем при
колебания затухающие.
Были так же получены и определенны различные виды хаотических и не детерминированных движений системы:
а)
Гармонического осциллятора (
).
б)
Субгармонический осциллятор (
).
в)
Квазипериодический осциллятор (
{0.
780}
).
г) Хаотический осциллятор (Все остальное множество значений, подробно проанализированное по классам движений в нелинейных детерминированных системах в п. “ Обсуждение результатов ”).
Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы: частица движется на плоскости и ее положение определяется вектором . Пусть гамильтониан явно не зависит от времени и поэтому энергия сохраняется:
Фазовое пространство четырехмерно. Фазовые траектории находятся на трехмерной энергетической гиперповерхности. Соотношение (15) позволяет, по крайней мере, локально выразить любую из четырех переменных как функцию трех остальных, например
Таким образом, фазовое пространство фактически становится трехмерным (если нет дополнительных интегралов движения). Выберем в этом трехмерном пространстве некоторую поверхность , например, некоторую плоскость и рассмотрим ее последовательные пересечения фазовой траекторией в направлении возрастания времени.
При этом получим некоторую последовательность точек пересечения
Такое отображение точек на поверхности осуществляется с помощью некоторой функции :
Опр. Функция наз. функцией последования или отображением
Пуанкаре .
Совокупность точек также называется отображением Пуанкаре .
Понятие отображения Пуанкаре можно распространить и на системы с
Для автономных систем размерность энергетической гиперповерхности, на которой расположены фазовые кривые, равна
В этом случае рассматриваются последовательные точки пересечения траектории динамической системы с - мерной гиперповерхностью при условии, что поток нигде не касается , а «протыкает» ее. Если помимо интеграла энергии имеется еще интегралов движения, то размерность усеченного фазового пространства равна , а размерность гиперповерхности равна .
Если известна структура следов на секущей поверхности , это дает возможность наглядно представить динамику системы.
Так называемому квазипериодическому движению соответствует отображение Пуанкаре, множество точек которого плотно заполняет определенную замкнутую кривую.
Наконец существуют системы, для которых при некоторых условиях траектория на представлена хаотическим множеством точек. Режим эволюции таких точек не является ни периодическим, ни квазипериодическим.
Раздел. Интегрируемые системы .
Мы уже говорили - уравнения Гамильтона обладают тем важным свойством, что допускают широкий класс преобразований канонических переменных (канонические преобразования), при которых не изменяется общая форма уравнений для любой гамильтоновой системы:
Такие преобразования могут быть полезны при построении решений и анализе физической картины движения.
Одно из важных и часто используемых преобразований является преобразование
, (4)полностью интегрируемой , если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти к переменным действие-угол.
(фазовых кривых) системы.
Более подробно, отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре ), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль ). Из точки на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через . Отображение Пуанкаре точке ставит в соответствие точку первого возвращения . Если траектория, выпущенная из , никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.
Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.
Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений - с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.
См. также
Отражающая функция
Ссылки
- А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Отображение Пуанкаре" в других словарях:
Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия
О возвращении одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой. Примером такой системы является гамилътонова система, эволюция к рой описывается решениями Гамильтона уравнений канонич. координаты и… … Физическая энциклопедия
Пусть К кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с радиусами r=a и r=b, и дано отображение его в себя (q полярный угол) удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет площадь, 2) каждая граничная окружность переходит в себя, 3) точки с … Математическая энциклопедия
1) П. п. формальной размерности и топологическое пространство X, где задан элемент, что гомоморфизм вида является изоморфизмом для любого k(здесь операция Уитни умножения, высечение). При этом наз. изоморфизмо … Математическая энциклопедия
Раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1 го порядка: (*) (условия, обеспечивающие существование и… … Математическая энциклопедия
Для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v,… … Математическая энциклопедия
Последняя теорема Пуанкаре геометрическое утверждение, опубликованное Анри Пуанкаре (без доказательства) незадолго до смерти (1912). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф. Содержание 1 Формулировка 2 Вариации … Википедия
Конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры,… … Большая советская энциклопедия
Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пуанкаре. В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа… … Википедия