Линейная независимость строк матрицы
Дана матрица размера 
Обозначим строки матрицы следующим образом:
Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:
Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):
Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
Где . (1.1)
Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми .
Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).
Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.
6, 13,14,15,16. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n -мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А
и конечной точкой В
(который можно перемещать параллельно самому себе).
Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.
Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными .
Если начало и конец вектора совпадают (), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю:
1) Произведением вектора на число :
Будет вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
2) Противоположным вектором -называется произведение вектора -на число (-1), т.е. -=.
3) Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.
4) Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора -, противоположного .
Скалярное произведение
Определение : Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
n-мерный вектор и векторное пространство
Определение . n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х 1 ,х 2 ,…,х n) , где х i – i -я компонента вектора х .
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х 1 ,х 2 ,…,х n), а соответствующие цены у = (у 1 ,у 2 ,…,у n).
- Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у , если х i = у i , i = 1,2,…,n .
- Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z i = x i + y i , i = 1,2,…,n .
- Произведением вектора х на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. , i = 1,2,…,n .
Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:
1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;
2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;
8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).
Определение . Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием .
Размеренность и базис векторного пространства
Определение . Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом .
7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение . Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:
Число называется собственным значением оператора (матрицы А ), соответствующим вектору .
Можно записать в матричной форме:
Где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:
или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .
Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .
Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение 
или , откуда собственное значение линейного оператора .
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:
Или 
, или , откуда находим: , или
Или .
Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
Аналогично, вектор .
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений с неизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система линейных уравнений с переменными имеет вид:
,
где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.
Краткая запись: ().
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Запишем систему в матричной форме:
Обозначим: 
, где
А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.
Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:
Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .
Теорема Крамера . Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
Формула Крамера.
Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера
Р е ш е н и е . Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:
По формулам Крамера:
9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :
.
Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида 
.
Пример. Методом Гаусса решить систему:
Выпишем расширенную матрицу системы .
Шаг 1 . Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.
Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули. .
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.
Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае - это значит выразить и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.
Выразим базисные переменные через свободные.
Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :
Из первой строки выразим : ,
Общее решение системы уравнений: , .
Каждую строку матрицы А обозначим е i = (a i 1 a i 2 …, a in) (например,
е 1 = (a 11 a 12 …, a 1 n), е 2 = (a 21 a 22 …, a 2 n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.
Линейной комбинацией
строк e l , e 2 ,...e k называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , где l l , l 2 ,..., l k - произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).
Строки матрицы e l , e 2 ,...e m называются линейно зависимыми
, если существуют такие числа l l , l 2 ,..., l m , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, где 0 = (0 0...0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент l m ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на l m , получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, то строки называют линейно независимыми .
Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.
Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным . Пусть для определенности это минор
Строки этого минора также будем называть базисными .
Докажем, что тогда строки матрицы e l , e 2 ,...e r линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на l l , элементы 2-й строки, умноженные на l 2 , и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на l r-1 , то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.
Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.
Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю.
Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу А размера mxn.
Ранг матрицы.
Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.
Обозначим стоки матрицы А:
е 1 =(а 11 ,а 12 ,…,а 1n); е 2 =(а 21 ,а 22 ,…,а 2n);…, е m =(а m1 ,а m2 ,…,а mn)
e k =e s если a kj =a sj , j=1,2,…,n
Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +е s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].
Строка е называется линейной комбинацией строк е 1 , е 2 ,…,е k , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:
е=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ k е k
Строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно зависимыми , если существуют действительные числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ m е m =0 ,где0 =(0,0,…,0) (1)
Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i равны нулю (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), то строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно независимыми.
Теорема 1 . Для того, чтобы строки е 1 ,е 2 ,…,е m были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.
Доказательство . Необходимость . Пусть строки е 1 , е 2 ,…,е m линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1) λ m ≠0, тогда
Т.о. строка е m является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.
Достаточность . Пусть одна из строк, например е m , является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,
где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.
Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤min(m,n)). .
Пример. , миноры 1-го порядка: =, =;
миноры 2-го порядка: , 3-го порядка
У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение - rg A или r(A).
Свойства ранга матрицы .
1) ранг матрицы A nxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.
3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.
(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).
4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.
Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min{r(A),r(B)};
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);
5) r(AB)=r(A), если В - квадратная невырожденная матрица.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.
Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором . (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами .
Теорема 2 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрица А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).
Доказательство . (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.
Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы
А=, т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£j£n, 1£i£m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка
Если j£r или i£r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.
Если же j>r и i>r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.
Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, где последнее алгебраическое дополнение A ij совпадает с базисным минором М r и поэтому A ij = М r ≠0.
Разделив последнее равенство на A ij , можем выразить элемент a ij , как линейную комбинацию: , где .
Зафиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2,…,n) элементы i-й строки e i линейно выражаются через элементы строк е 1 , е 2 ,…,е r , т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.
Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Доказательство (с.40)
. Необходимость
. Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r Т.о., одна строка является линейной комбинацией других остальных. Тогда по теореме 1 строки определителя линейно зависимы. Достаточность
. Если строки D линейно зависимы, то по теореме 1 одна строка А i является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А i указанную линейную комбинацию, не изменив величины D, получим нулевую строку. Следовательно, по свойствам определителей, D=0. ч.т.д. Теорема 4.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Доказательство
. Как было показано при рассмотрении свойств определителей, при преобразованиях квадратных матриц их определители либо не изменяются, либо умножаются на ненулевое число, либо меняют знак. При этом наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы сохраняется, т.е. ранг матрицы не изменяется. Ч.т.д. Если r(A)=r(B), то А и В –эквивалентные: А~В.
Теорема 5.
При помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду.
Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:
А=, где a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Условия r≤k всегда можно достигнуть транспонированием. Теорема 6.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Т.е. Ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. есть отличный от нуля минор порядка r: Строки и столбцы матриц
можно рассматривать как матрицы-строки
и, соответственно, матрицы-столбцы
. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять линейные операции
. Ограничение на операцию сложения состоит в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполнено для строк (столбцов) одной матрицы. Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений α 1 а 1 + ... + α s a s , где а 1 , ..., a s - произвольный набор строк (столбцов) одинаковой длины (высоты), а α 1 , ... , α s - действительные числа. Такие выражения называют линейными комбинациями строк (столбцов)
. Определение 12.3.
Строки (столбцы)
а 1 , ..., a s называют линейно независимыми,
если равенство α 1 а 1 + ... + α s a s = 0, (12.1) где 0 в правой части - нулевая строка (столбец), возможно лишь при α 1 = ... = a s = 0. В противном случае, когда существуют такие действительные числа α 1 , ... , α s , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (12.1), эти строки (столбцы) называют линейно зависимыми
. Следующее утверждение известно как критерий линейной зависимости. Теорема 12.3.
Строки (столбцы) а 1 , ..., a s , s > 1, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных. ◄ Доказательство проведем для строк, а для столбцов оно аналогично. Необходимость. Если строки a 1 , ..., a s линейно зависимы, то, согласно определению
12.3, существуют такие действительные числа α 1 , ... , α s , не равные нулю одновременно, что α 1 a 1 +... + α s a s = 0. Выберем ненулевой коэффициент αα i . Для определенности пусть это будет α 1 . Тогда α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s и, следовательно, a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s /α 1)a s , т.е. строка a 1 представляется в виде линейной комбинации остальных строк. Достаточность. Пусть, например, a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s . Тогда 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0. Первый коэффициент линейной комбинации равен единице, т.е. он ненулевой. Согласно определению 12.3, строки a 1 , ..., a s линейно зависимы. Теорема 12.4.
Пусть строки (столбцы) а 1 , ..., a s линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) b 1 ,..., b l является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b l линейно зависимы. ◄ Пусть, например, b 1 есть линейная комбинация a 1 , ..., a s , т.е. b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s , α i ∈R, i = 1,s
. В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) b 2 , ..., b l (при l > 1) с нулевыми коэффициентами: b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0b l . Согласно теореме 12.3, строки (столбцы) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b i линейно зависимы. где – какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю). Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов: Из (3.3.1) вытекает, что Если равенство (3.3.3) справедливо тогда и только тогда, когда , то строки называются линейно независимыми. Соотношение (3.3.2) показывает, что если одна из строк линейно выражается через остальные, то строки линейно зависимы. Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы, то найдется строка, которая будет линейной комбинацией остальных строк. Пусть, например, в (3.3.3) , тогда Определение. Пусть в матрице А выделен некоторый минор r-го порядка и пусть минор (r+1)-го порядка этой же матрицы целиком содержит внутри себя минор . Будем говорить, что в этом случае минор окаймляет минор (или является окаймляющим для ). Теперь докажем важную лемму. Лемма
об окаймляющих минорах. Если минор порядка r матрицы А= отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов), составляющих . Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что отличный от нуля минор r-го порядка стоит в левом верхнем углу матрицы А= : Для первых k строк матрицы А утверждение леммы очевидно: достаточно в линейную комбинацию включить эту же строку с коэффициентом, равным единице, а остальные – с коэффициентами, равными нулю. Докажем теперь, что и остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые k строк. Для этого построим минор (r+1)-го порядка путем добавления к минору k-ой строки () и l
-го столбца (): Полученный минор равен нулю при всех k и l. Если , то он равен нулю как содержащий два одинаковых столбца. Если , то полученный минор является окаймляющим минором для и, следовательно, равен нулю по условию леммы. Разложим минор по элементам последнего l
-го столбца: Полагая , получим: Выражение (3.3.6) означает, что k-я строка матрицы А линейно выражается через первые r строк. Так как при транспонировании матрицы значения ее миноров не изменяются (ввиду свойства определителей), то все доказанное справедливо и для столбцов. Теорема доказана. Следствие I. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Действительно, базисный минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю. Следствие II. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен нулю, когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы). Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей. Докажем необходимость. Пусть задана квадратная матрица n-го порядка, единственный минор которой равен нулю. Отсюда следует, что ранг этой матрицы меньше n, т.е. найдется хотя бы одна строка, которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы. Докажем еще одну теорему о ранге матрицы. Теорема.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы. Доказательство. Пусть ранг матрицы А= равен r. Тогда любые ее k базисных строк являются линейно независимыми, иначе базисный минор был бы равен нулю. С другой стороны, любые r+1 и более строк линейно зависимы. Предположив противное, мы могли бы найти минор порядка более чем r, отличный от нуля по следствию 2 предыдущей леммы. Последнее противоречит тому, что максимальный порядок миноров, отличных от нуля, равен r. Все доказанное для строк справедливо и для столбцов. В заключение изложим еще один метод нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить, если найти минор максимального порядка, отличный от нуля. На первый взгляд, это требует вычисления хотя и конечного, но быть может, очень большого числа миноров этой матрицы. Следующая теорема позволяет, однако, внести в этот значительные упрощения. Теорема.
Если минор матрицы А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r. Доказательство. Достаточно показать, что любая подсистема строк матрицы при S>r будет в условиях теоремы линейно зависимой (отсюда будет следовать, что r – максимальное число линейно независимых строк матрицы или любые ее миноры порядка больше чем k равны нулю). Предположим противное. Пусть строки линейно независимы. По лемме об окаймляющих минорах каждая из них будет линейно выражаться через строки , в которых стоит минор и которые, ввиду того, что отличен от нуля, линейно независимы: Теперь рассмотрим следующую линейную комбинацию: Используя (3.3.7) и (3.3.8), получаем что противоречит линейной независимости строк . Следовательно, наше предположение неверно и, значит, любые S>r строк в условиях теоремы линейно зависимы. Теорема доказана. Рассмотрим правило вычисления ранга матрицы – метод окаймляющих миноров, основанный на данной теореме. При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r-го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (r+1)-го порядка, окаймляющие минор . Если они равны нулю, то ранг матрицы равен r. Этот метод применяется и в том случае, если мы не только вычисляем ранг матрицы, но и определяем, какие столбцы (строки) составляют базисный минор матрицы. Пример. Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля: Однако все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю: Следовательно, ранг матрицы А равен двум: . Первая и вторая строки, первый и второй столбцы в данной матрице являются базисными. Остальные строки и столбцы являются их линейными комбинациями. В самом деле, для строк справедливы следующие равенства: В заключение отметим справедливость следующих свойств: 1) ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей; 2) ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. Многочленные матрицы
Определение. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица, элементы которой являются многочленами от одного переменного с числовыми коэффициентами. Над -матрицами можно совершать элементарные преобразования. К ним относятся: Перестановка двух строк (столбцов); Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой многочлен . Две -матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными: , если от матрицы к можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований. Пример. Доказать эквивалентность матриц 1. Поменяем местами в матрице первый и второй столбцы: 2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на (): 3. Умножим вторую строку на (–1) и заметим, что 4. Вычтем из второго столбца первый, умноженный на , получим Множество всех -матриц данных размеров разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Матрицы, эквивалентные между собой, образуют один класс, не эквивалентные - другой. Каждый класс эквивалентных матриц характеризуется канонической, или нормальной, -матрицей данных размеров. Определение. Канонической, или нормальной, -матрицей размеров называется -матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены , где р - меньшее из чисел m и n ( Из определения следует, что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени, то они в начале главной диагонали. Если имеются нули, то они стоят в конце главной диагонали. Матрица предыдущего примера есть каноническая. Матрица также каноническая. Каждый класс -матриц содержит единственную каноническую -матрицу, т.е. каждая -матрица эквивалентна единственной канонической матрице, которая называется канонической формой или нормальной формой данной матрицы. Многочлены, стоящие на главной диагонали канонической формы данной -матрицы, называются инвариантными множителями данной матрицы. Один из методов вычисления инвариантных множителей состоит в приведении данной -матрицы к канонической форме. Так, для матрицы предыдущего примера инвариантными множителями являются Из сказанного следует, что наличие одной и той же совокупности инвариантных множителей является необходимым и достаточным условием эквивалентности -матриц. Приведение -матриц к каноническому виду сводится к определению инвариантных множителей где r – ранг -матрицы; - наибольший общий делитель миноров k-го порядка, взятый со старшим коэффициентом, равным 1. Пример. Пусть дана -матрица Решение. Очевидно, наибольший общий делитель первого порядка , т.е. . Определим миноры второго порядка: Уже этих данных достаточно для того, чтобы сделать вывод: , следовательно, . Определяем Следовательно, Таким образом, канонической формой данной матрицы является следующая -матрица: Матричным многочленом называется выражение вида где - переменное; - квадратные матрицы порядка n с числовыми элементами. Если , то S называют степенью матричного многочлена, n – порядком матричного многочлена. Любую квадратичную -матрицу можно представить в виде матричного многочлена. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение, т.е. любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной -матрицы. Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах: Пример. Представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена можно следующим образом Пример. Матричный многочлен можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( -матрицы) Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа. Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, однако, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц. Два матричных многочлена называются равными, если равны их коэффициенты, т.е. соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного . Суммой (разностью) двух матричных многочленов и называется такой матричный многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и . Чтобы умножить матричный многочлен на матричный многочлен , нужно каждый член матричного многочлена умножить на каждый член матричного многочлена , сложить полученные произведения и привести подобные члены. Степень матричного многочлена – произведения меньше или равна сумме степеней сомножителей. Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими -матрицами. Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены, достаточно сложить (вычесть) соответствующие -матрицы. То же относится к умножению. -матрица произведения матричных многочленов равна произведению -матриц сомножителей. С другой стороны и можно записать в виде где В 0 – невырожденная матрица. При делении на существует однозначно определенное правое частное и правый остаток где степень R 1 меньше степени , или (деление без остатка), а также левое частное и левый остаток
тогда и только тогда, когда, где порядка
.
.
. 
(3.3.6)
или 
,
. 
;
;
;
;
;
.
,
.
.
.
.
.
), причем не равные нулю многочлены имеют старшие коэффициенты, равные 1, и каждый следующий многочлен делиться на предыдущий. Все элементы вне главной диагонали равны 0.
, ; ,
. 
,
и т.д.
,
.
.
.
. 
