Прохождение случайных сигналов через линейные цепи. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи. Что будем делать с полученным материалом

Цель работы : Приобрести первичные навыки в исследовании статистических характеристик случайных сигналов. Экспериментально определить законы распределения случайных сигналов на выходе линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Классификация радиотехнических цепей

Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты. В общем случае, любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x(t) в выходной y(t), которое символически можно представить в виде

y(t) = T ,

Где Т — оператор, укапывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора Т и двух множеств X={xi(t)} и Y={yi(t)} сигналов на входе и выходе цепи так, что

{y I (t)} = T{x I (t)} .

По виду преобразования входных сигналов в выходные, то есть по виду оператора Т, производят классификацию радиотехнических цепей.

Радиотехническая цепь, является линейной, если оператор Т таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, то есть справедливы равенства

T = T : T = c T

i I

Где с — константа.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного только линейным цепям.

Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями c постоянными коэффициентами. Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, то есть не приводит к обогащению спектра сигнала.

Радиотехническая цепь является Нелинейной , если оператор Т не обеспечивает выполнение условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.

Структурно линейные цепи содержат только линейные устройства (усилители, фильтры, длинные линии и др.). Нелинейные цепи содержат одно или несколько нелинейных устройств (генераторы, детекторы, умножители, ограничители и др.)

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают инерционные и безынерционные радиотехнические цепи.

Радиотехническая цепь, значение выходного сигнала которой y(t) В момент t=t0 зависит не только от значения входного сигнала x(t) в этот момент времени, но и от значений x(t) в моменты времени, предшествовавшие моменту t0 называется Инерционной цепью. Если значение выходного сигнала y(t) и момент t=t0 полностью определяется значением x(t) в тот же момент времени t0, то такая цепь называется Безынерционной .

2. Преобразование случайных процессов в линейных цепях

Задача преобразования случайных процессов в линейных радиотехнических цепях в общем случае рассматривается в следующей постановке. Пусть на вход линейной цепи c частотной характеристикой K(jw) поступает случайный процесс x(t) с заданными статистическими свойствами. Требуется определить статистические характеристики случайного процесса y(t) на выходе цепи. В зависимости от анализируемых характеристик случайных процессов x(t) и y(t) рассматривают два варианта общей задачи:

1. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной цепи.

2. Определение законов распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной цепи.

Наиболее простой является, первая задача. Решение ее в частотной области основано на том, что энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи Wy(w) в стационарном режиме равен энергетическому спектру входного процесса Wx(w), умноженному на квадрат модуля частотной характеристики цепи, то есть

Wy (W )= Wx (W ) ∙│ K (Jw )│ A (1)

Известно, что энергетический спектр Wx(w) случайного процесса x(t) с математическим ожиданием mx=0 связан с его ковариационной функцией Вx(t) преобразованиями Фурье, то есть

Wx (W )= В X (T ) E — J W T D T

В X (T )= Wx (W ) Ej W T D W .

Следовательно, ковариационную функцию Вy(t) случайного процесса на выходе линейной цепи можно определить следующим образом:

В Y (T )= Wy (W ) Ej W T D W = Wx (W ))│ K (Jw )│ A Ej W T D W

Ry (T )= В Y (T )+ Mya .

При этом дисперсия Dy и математическое ожидание my выходного случайного процесса равны

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

My = Mx ∙ K (0) .

Где mx — математическое ожидание входного случайного процесса:

К(0) — коэффициент передачи линейной цепи по постоянному току, то есть

K (0)= K (Jw )/ W =0

Формулы (1,2,3,4) представляют собой по сути дела полное решение поставленной задачи в частотной области.

Метода решения второй задачи, который позволял бы непосредственно находить плотность вероятности процесса y(t) на выходе линейной инерционной цепи по заданной плотности вероятности процесса x(t) на входе, в общем виде не существует. Решается задача только для некоторых частных случаев и для случайных процессов с гауссовским (нормальным) законом распределения, а также марковских случайных процессов.

Применительно к процессу о нормальным законом распределении решение упрощается на том основании, что при линейном преобразовании такого процесса закон распределения не изменяется. Поскольку нормальный процесс полностью определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией, то для нахождения плотности вероятности процесса достаточно вычислить его математическое ожидание и корреляционную функцию.

Закон распределения вероятностей сигнала на выходе линейной безынерционной цепи совпадает в функциональном смысле с законом распределения входного сигнала. Изменяются только некоторые его параметры. Так, если линейная безынерционная цепь реализует функциональное преобразование вида y(t) = a·x(t) + b, где а и b — постоянные коэффициенты, то плотность вероятности р(у) случайного процесса на выходе цепи определяется по известной формуле функционального преобразования случайных процессов

P (Y )= =

Где р(х) — плотность вероятности случайного процесса x(t) па входе цепи.

В некоторых случаях приближенно решить задачу определения вероятностных характеристик случайного процесса на выходе инерционных цепей позволяет использование эффекта нормализации случайного процесса инерционными системами. Если негауссовский процесс x(t1) с интервалом корреляции tk воздействует на инерционную линейную цепь с постоянной времени t»tk (при этом ширина энергетического спектра случайного процесса x(t) больше полосы пропускания цепи), то процесс y(t) на выходе такой цепи приближается к гауссовскому по мере увеличения отношения t/tk. Этот результат называется эффектом нормализации случайного процесса. Эффект нормализации проявляется тем сильней, чем уже полоса пропускания цепи.

3. Преобразование случайных процессов в нелинейных цепях

Нелинейные инерционные преобразования рассматриваются в ходе анализа нелинейных цепей, инерционностью которых при заданных воздействиях нельзя пренебрегать. Поведение таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов решения которых не существует. Поэтому задачи, связанные с исследованием нелинейных инерционных преобразований случайных процессов, почти всегда решают приближенно, пользуясь различными искусственными приемами.

Один из таких приемов состоит в представлении нелинейной инерционной цепи комбинацией линейной инерционной и нелинейной безынерционной цепей. Задача исследования воздействия случайных процессов на линейную цепь рассматривалась выше. Было показано, что в этом случае достаточно просто определить спектральную плотность (или корреляционную функцию) выходного сигнала, но сложно — закон распределения. В нелинейных безынерционных цепях основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. При этом общих методов анализа воздействия случайных сигналов на нелинейные цепи нет. Ограничиваются решением некоторых частных задач, представляющих практический интерес.

3.1. Статистические характеристики случайного процесса на выходе нелинейных цепей

Рассмотрим преобразование случайного процесса с одномерной плотностью вероятности нелинейной безынерционной цепью с характеристикой

Y = f(x) .

Очевидно, что любая реализация случайного процесса x(t) преобразуется в соответствующую реализацию нового случайного процесса y(t), то есть

y(t)= F [ X (T )] .

А. Определение закона распределения случайного процесса y(t)

Пусть известна плотность вероятности р(х) случайного процесса x(t). Необходимо определить плотность вероятности p(y) случайного процесса y(t). Рассмотрим три характерных случая.

1. Функция y= f(x) нелинейной цепи определяет однозначное соответствие между x(t) и у(t). Полагаем, что существует обратная функция х= j(у), которая также определяет однозначное соответствие между y(t) и x(t). В этом случае, вероятность нахождения реализации случайного процесса x(t) в интервале (x0, x0+dx) равна вероятности нахождения реализации случайного процесса y(t)=f в интервале (y0, y0+dу) при y0= f(x0) и y0+dy= f(x0+dx), то есть

P (X ) Dx = P (Y ) Dy

Следовательно,

P (Y )= .

Производная взята по абсолютной величине потому что плотность вероятности р(у) > 0, в то время как производная может быть и отрицательной.

2. Обратная функция х= j(у) неоднозначна, то есть одному значению у соответствует несколько значений х. Пусть, например, значению у1=y0 соответствуют значения х= x1, x2,…,xn.

Тогда из того факта, что у0≤ y(t)≤ у0+dy, следует одна из n взаимно несовместимых возможностей

X 1 ≤ X (T )≤ X 1 + Dx , или X 2 ≤ X (T )≤ X 2 + Dx , или … Xn ≤ X (T )≤ Xn + Dx .

Применяя правило сложения вероятностей получаем

P (Y )= + +…+ .

/ X = X 1 / X = X 2 / X = Xn

3, Характеристика нелинейного элемента у= f(x) имеет один или более горизонтальных участков (участки, где y= const.). Тогда выражение

P (Y )=

Следует дополнить слагаемым, учитывающим вероятность пребывания у(t) на интервале, где у= const.

Проще всего этот случай рассмотреть не примере.

Пусть функция у= f(x) имеет вид, представленный на рис.1 и формулой

Рис. 1 Воздействие случайного процесса на двусторонний ограничитель.

При х(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx ,

А плотность вероятности

P1(y) = P1∙δ(y).

Аналогично рассуждая для случая x(t)> b, получаем

Pa= P= P= P(x)dx,

pa (Y ) = Pa ∙ δ (Y — C ).

/ Y = C

Для случая a≤ x≤ b справедлива формула

Pa (Y ) =

/0≤ Y ≤ C

В целом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

P (Y )= P 1 ∙ δ (Y )+ Pa ∙ δ (Y — C )+ .

Заметим, что для получения окончательного выражения необходимо функциональные зависимости р(х) и dy/dx, являющиеся функциями от х, преобразовать в функции от у, используя обратную функцию х= j(у). Таким образом, задача определения плотности распределения случайного процесса на выходе нелинейной безынерционной цепи решается аналитически для достаточно простых характеристик у = f(х).

В. Определение энергетического спектра и корреляционной функции случайного процесса y(t)

Непосредственно определить энергетический спектр случайного процесса на выходе нелинейной цепи не представляется возможным. Существует единственный метод — определение корреляционной функции сигнала на выходе цепи с последующим применением прямого преобразования Фурье для определения спектра.

Если на вход нелинейной безынерционной цепи поступает стационарный случайный процесс x(t), то корреляционная функция случайного процесса y(t) на выходе может быть представлена в виде

Ry (T )= By (T )- My 2 ,

Где By(t) — ковариационная функция;

my — математическое ожидание случайного процесса y(t). Ковариационная функция случайного процесса представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса y(t) в моменты t и t+t, то есть

By (T )= M [ Y (T )∙ Y (T + T )].

Для реализаций случайного процесса y(t) произведение y(t)∙y(t+t) является числом. Для процесса как совокупности реализаций это произведение образует случайную величину, распределение которой характеризуется двумерной плотностью вероятности р2 (у1, у2, t), где у1= y(t), ya= y(t+t). Заметим, что в последней формуле переменная t не фигурирует, так как процесс стационарный — результат от t но зависит.

При заданной функции р2 (у1, у2, t) операция усреднения по множеству осуществляется по Формуле

By (T )=У1∙у2∙р2 (у1, у2, T ) Dy 1 Dy 2 = F (X 1 )∙ F (X 2 )∙ P (X 1 , X 2 , T ) Dx 1 Dx 2 .

Математическое ожидание my определяется следующим выражением:

My = Y ∙ P (Y ) Dy .

Учитывая, что p(y)dy = p(x)dx, получаем

My = F (X )∙ P (X ) Dx .

Энергетический спектр выходного сигнала в соответствии с теоремой Винера — Хинчина находится как прямое преобразование Фурье от ковариацинной функции, то есть

Wy (W )= By (T ) E — J W T D T

Практическое применение данного метода затруднено, так как двойной интеграл для By(t) удается вычислить не всегда. Приходится использовать различные упрощающие методы, связанные со спецификой решаемой задачи.

3.2. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор

В статистической радиотехнике различают широкополосные и узкополосные случайные процессы.

Пусть ∆ fэ — ширина энергетического спектра случайного процесса, определенная по формуле (рис. 2.)

Рис. 2. Ширина энергетического спектра случайного процесса

Узкополосным случайным процессом называется процесс, у которого ∆fэ«f0 , где f0 — частота, соответствующая максимуму энергетического спектра. Случайный процесс, ширина энергетического спектра которого не удовлетворяет этому условию, является Широкополосным .

Узкополосный случайный процесс принято представлять высокочастотным колебанием с медленно меняющимися (по сравнению с колебанием на частоте f0) амплитудой и фазой, то есть

X(t)= A(t)∙cos,

Где A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arctg,

z(t) — функция, сопряженная по Гильберту с исходной функцией x(t), то

z(t)= — D T

Все параметры этого колебания (амплитуда, частота и фаза) являются случайными функциями времени.

Амплитудный детектор, являющийся составной частью приемного тракта, представляет собой сочетание нелинейного безынерционного элемента (например диода) и инерционной линейной цепи (фильтра нижних частот). Напряжение на выходе детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания на входе.

Пусть на вход амплитудного детектора поступает узкополосный случайный сигнал (например с выхода УПЧ, имеющего узкую относительно промежуточной частоты полосу пропускания), обладающий свойствами эргодического случайного процесса с нормальным законом распределения. Очевидно, что сигнал на выходе детектора будет представлять собой огибающую входного случайного сигнала, которая также является случайной функцией времени. Доказано, что эта огибающая, то есть огибающая узкополосного случайного процесса характеризуется плотностью вероятности, называемой распределением Релея и имеющей вид:

Где А — значения огибающей;

Sx2- дисперсия случайного сигнала на входа детектора.

График распределения Релея представлен на рис.3.

Рис.3. График закона распределения Релея

Функция р(А) имеет максимальное значение, равное

При А= sx. Это означает, что значения А= sx и является наивероятнейшим значением огибающей.

Математическое ожидание огибающей случайного процесса

MA = = =

Таким образом, огибающая узкополосного случайного процесса с нормальным законом распределения является случайной функцией времени, плотность распределения которой описывается законом Релея.

3.3. Закон распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума

Задача определения закона распределения огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного случайного шума возникает при анализе процесса линейного детектирования в радиолокационных и связных системах, работающих в условиях, когда собственные или внешние шумы соизмеримы по уровню с полезным сигналом.

Пусть на вход приемника поступает сумма гармонического сигнала a(t)=E∙cos(wt) и узкополосного шума х(t)=A(t)∙cos с нормальным законом распределения. Суммарное колебание в этом случае можно записать

N (T ) = S (T )+ X (T )= Е∙со S (Wt )+ A (T )∙ Cos [ Wt + J (T )]=

=[Е+ A (T )∙ Cos (J (T ))]∙со S (Wt )- A (T )∙ Sin (J (T ))∙ Sin (Wt )= U (T )∙ Cos [ Wt + J (T )],

Где U(t) и j (t) — огибающая и фаза суммарного сигнала, определяемые выражениями

U (T )= ;

J (T )= Arctg

При воздействии суммарного колебания u(t) на амплитудный детектор на выходе последнего формируется огибающая. Плотность вероятности p(U) этой огибающей определяется по формуле

P (U )= (5)

Где sxa — дисперсия шума x(t);

I0- функция Бесселя нулевого порядка (модифицированная).

Плотность вероятности, определяемую данной формулой, называют обобщенным законом Релея, или законом Райса. Графики функции p(U) для нескольких значений отношения сигнала к шуму E/sx приведены на рис.4.

В отсутствие полезного сигнала, то есть при E/sx=0, выражение (5) приобретает вид

P (U )=

То есть, огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае по закону Релея.

Рис.4. Графики обобщенного закона распределения Релея

Если амплитуда полезного сигнала превышает среднеквадратический уровень шума, то есть E/sx»1, то при U≃Е можно воспользоваться асимптотическим представлением функции Бесселя с большим аргументом, то есть

≃≃.

Подставив это выражение в (5), имеем

P (U )= ,

То есть, огибающая результирующего сигнала описывается нормальным законом распределения с дисперсией sx2 и математическим ожиданием Е. Практически считают, что уже при Е/sx=3 огибающая результирующего сигнала нормализуется.

4. Экспериментальное определение законов распределения случайных процессов

Одним из методов экспериментального определения функции распределения случайного процесса x(t) является метод, основанный на использовании вспомогательной случайной функции z(t) вида

Где x — значение функции x(t), для которого рассчитывается z(t).

Как следует из смыслового содержания функции z(t), ее статистические параметры определяются параметрами случайного процесса x(t), так как изменения значений z(t) происходят в моменты пересечения случайным процессом x(t) уровня х. Следовательно, если x(t) — эргодический случайный процесс с функцией распределения F(х), то функция z(t) будет также описывать эргодический случайный процесс с такой же функцией распределения.

На рис.5 представлены реализации случайных процессов x(t) и z(t), которые иллюстрируют очевидность соотношения

P [ Z (T )=1]= P [ X (T )< X ]= F (X );

P [ Z (T )=0]= P [ X (T )≥ X ]= 1- F (X ).

Рис.5 Реализации случайных процессов x(t), z(t), z1(t)

Математическое ожидание (статистическое среднее) функции z(t), имеющей два дискретных значения, определяется в соответствии c формулой (см. табл.1)

M [ Z (T )]=1∙ P [ Z (T )=1]+0 ∙ P [ Z (T )=0]= F (X ).

C другой стороны, для эргодического случайного процесса

Таким образом,

Анализируя данное выражение, можно сделать вывод, что устройство для измерения функции распределения эргодического случайного процесса x(t) должно содержать в своем составе дискриминатор уровней для получения случайного процесса, описываемого функцией z(t) в соответствии с выражением (6), и интегрирующее устройство, выполненное, например, в виде фильтра нижних частот.

Метод экспериментального определения плотности распределения случайного процесса x(t) по своей сути аналогичен рассмотренному выше. При этом используется вспомогательная случайная функция z1(t) вида

Математическое ожидание функции z1(t), имеющей два дискретных значения (рис.5), равно

M [ Z 1 (T )]=1∙ P [ Z 1 (T )=1]+0 ∙ P [ Z 1 (T )=0]= P [ X < X (T )< X +∆ X ].

Учитывая эргодичность случайного процесса, описываемого функцией z1(t), можно записать

Таким образом,

Известно, что

P (X ≤ X (T )< X +∆ X ) ≃ P (X )∙∆ X .

Следовательно,

Таким образом, устройство для измерения плотности распределения эргодического случайного процесса x(t) имеет такую же структуру и состав, как и устройство для измерения функции распределения.

Точность измерения F(x) и р(х) зависит от длительности интервала наблюдения и качества выполнения операции интегрирования. Вполне очевидно, что в реальных условиях получаем Оценки законов распределения, так как время усреднения (интегрирования) конечно. Возвращаясь к выражению (6) и рис. 5. заметим, что

Z (T ) Dt = ∆ T 1 ,

Где ∆ t1 — 1-й временной интервал пребывания функции x(t) ниже уровня x, то есть временной интервал, когда функция z(t)=l.

Справедливость этой формулы определяется геометрическим смыслом определенного интеграла (площадь фигуры, ограниченной функцией z(t) и отрезком (0,Т) оси времени).

Таким образом, можно записать

То есть функция распределения случайного процесса x(t) равна относительному времени пребывания реализации процесса в интервале -¥< x(t) < х.

Аналогично рассуждая, можно получить

Где ∆ t1- 1-й временной интервал пребывания функции x(t) в пределах (х, х+∆х).

При практической реализации рассмотренного метода экспериментального определения законов распределения случайного процесса анализу подвергается случайный сигнал x(t) в пределах изменения его мгновенных значений от xmin до хmax (рис.6). В этих пределах сосредоточено основное множество (в вероятностном смысле) мгновенных значений процесса x(t).

Значения xmin и хmax выбираются исходя из необходимой точности измерения законов распределения. При этом исследованию будут подвергаться усеченные распределения так, чтобы

F (Xmin )+<<1.

Весь диапазон (xmin, хmax) значений х(t) делится на N одинаковых интервалов ∆х, то есть

х Max — Xmin = N ∙∆ X .

Рис. 6. Функция распределения (а), плотность вероятности (б) и реализация (в) случайного процессе x(t)

Интервалы задают ширину дифференциальных коридоров, в которых производятся измерения. Определяется оценка вероятности

Pi * ≃ P [ Xi -∆ X /2≤ X (T )< Xi -∆ X /2]

Пребывания реализации x(t) в пределах дифференциального коридора со средним значением x(t) в его пределах, равным xi. Оценка Рi* определяется в результате измерения относительного времени пребывания реализации x(t) в каждом из дифференциальных коридоров, то есть

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

Учитывая, что

Pi * ≃ P 1 = P (X ) Dx ,

Можно определить оценки плотности распределения в каждом из дифференциальных коридоров

Pi * (X )= Pi */∆ X .

Пользуясь полученными результатами, то есть значениями pi*(x), xi, ∆x, cтроится ступенчатая кривая р*(х), которая называется гистограммой плотности распределения (см. рис.7).

Рис.7. Гистограмма плотности распределения

Площадь под каждым фрагментом гистограммы в пределах ∆x численно равна площади, занимаемой истинной кривой распределения р(х) на данном интервале.

Количество N дифференциальных коридоров должно быть в пределах 10…20. Дальнейшее увеличение их количества не приводит к получению более точного закона р(х), так как с ростом N уменьшается величина интервала ∆х, что ухудшает условия для точного измерения ∆ti.

Полученные результаты позволяют вычислить оценки математического ожидания и дисперсии случайного процесса x(t)

Mx * = Xi ∙ Pi * ; Dx * = (Xi — Mx * )2∙ Pi * .

При вычислении Mx * и Dx * по этим формулам учитывается, что если значение реализации случайного процесса x(t) попадает в 1-й дифференциальный коридор, то ему приписывается значение и (середина дифференциального коридора).

Рассмотренный метод определения законов распределения случайных процессов положен в основу работы статистического анализатора, используемого в данной лабораторной работе.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Исследование законов распределения случайных сигналов осуществляется с помощью лабораторной установки, в состав которой входят лабораторный макет, статистический анализатор и осциллограф С1-72 (рис.8).

Рис.8. Схема лабораторной установки

Лабораторный макет осуществляет формирование и преобразование случайных сигналов, обеспечивая их статистический анализ, построение гистограмм законов распределения и графическое отображение этих законов на индикаторе статистического анализатора. Он содержит следующие функциональные узлы:

А. Блок генераторов сигналов. Формирует четыре различных случайных сигнала.

— Сигнал x1(t)= A∙sin — гармоническое колебание со случайной начальной фазой, закон распределения которой Равномерный в интервале 0

P (J )= 1/2 P , 0< J <2 P .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала равна

— Сигнал x2(t) — пилообразное периодическое напряжение с постоянной амплитудой А и случайным параметром сдвига q, закон распределения
которого Равномерный в интервале , где Т0 – период сигнала, то есть плотность вероятности равна

P (Q )= 1/ T 0 ; 0< Q ≤ T 0 .

Плотность вероятности мгновенных значений такого сигнала определяется выражением

— Сигнал x3(t) — случайный сигнал с нормальным законом распределения (законом Гаусса) мгновенных значений, то есть

Pa (X )= ,

Где mx, sx — математическое ожидание и дисперсия случайного сигнала x3(t).

— Сигнал x4(t) — случайный клиппированный сигнал, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды А и случайной длительности, возникающих в случайные моменты времени. Такой сигнал появляется на выходе идеального ограничителя, когда на вход его действует случайный процесс с нормальным законом распределения. Характеристика преобразования имеет вид

Где x — уровень ограничения.

Таким образом, случайный процесс x4(t) принимает два значения (А и — А) с вероятностями

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Где F3(x) — интегральный закон распределения случайного процесса x3(t).

Учитывая сказанное, плотность вероятности клиппированного сигнала равна

P4(x)= F3(x)∙ D (x+ A)+ ∙ D (x — A).

На рис.9 представлены реализации каждого из случайных сигналов, формируемых итератором лабораторного макета, и их плотности вероятности.

Эти сигналы, каждый из которых характеризуется свойственной ему плотностью распределения, могут быть поданы на входы типовых элементов радиотехнических устройств с целью преобразования и исследования законов распределения сигналов на их выходах.

Б. Линейный смеситель сигналов. Формирует сумму двух случайных сигналов xi(t) и x1(t), подаваемых на его входы, в соответствии с соотношением

Y (T )= R ∙ Xi (T )+ (1- R )∙ X 1 (T ),

Где R — коэффициент, устанавливаемый ручкой потенциометра в пределах 0…1.

Используется для исследования законов распределения суммы двух случайных сигналов.

В. Гнезда для подключения различных четырехполюсников — функциональных преобразователей. В комплект лабораторной установки входят 4 функциональных преобразователя (рис.10).

Рис. 9. Реализации случайных процессов x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) и их плотности вероятности

Усилитель — ограничитель (огр.) с характеристикой преобразования

Где U1, U2 — нижний и верхний уровни ограничения соответственно;

k — коэффициент, равный tg угла наклона характеристики преобразования.

Осуществляет нелинейное безынерционное, преобразование входных сигналов.

Узкополосный фильтр (Ф1) о резонансной частотой f0=20 кГц. Используется для формирования узкополосных случайных процессов с законом распределения, близким к нормальному.

Типовой тракт приемника АМ-колебаний (узкополосный фильтр Ф1 — линейный детектор Д — фильтр НЧ Ф2). Осуществляет формирование огибающей узкополосного случайного сигнала при линейном детектировании.

Конструктивно рассмотренные функциональные преобразователи выполнены в виде сменных блоков небольшого размера.

В качестве еще одного функционального преобразователя используется "идеальный" усилитель — ограничитель (электронный ключ), входящий в состав блока генераторов сигналов макета. Он обеспечивает формирование клиппированного сигнала, являясь нелинейным безынерционным преобразователем входного случайного сигнала.

Рис. 10. Функциональные преобразователи

Г. Согласующий усилитель. Обеспечивает согласование диапазона значений исследуемого сигнала и амплитудного диапазона статистического анализатора. Согласование осуществляется потенциометрами "Усиление" и "Смещение" при установке переключателя П1 (рис.8) в положение "Калибровка."

Согласующий усилитель используется также в качестве функционального преобразователя (кроме четырех, рассмотренных выше), обеспечивая линейное безынерционное преобразование в соответствии с формулой

Y (T )= A ∙ X (T )= B ,

Где а — коэффициент усиления, устанавливаемый ручкой "Усиление";

b — постоянная составляющая сигнала, устанавливаемая ручкой "Смещение".

Приведенный на схеме рис.8 блок анализатора в составе макета в данной работе не используется. Лабораторная установка предусматривает применение цифрового статистического анализатора, выполненного в виде отдельного прибора.

Д. Цифровой статистический анализатор служит для измерения и формирования законов распределения значений сигналов, подаваемых на его вход. Работает анализатор следующим образом.

Включение анализатора в режим измерения осуществляется кнопкой "Пуск". Время измерения равно 20 с. В течение этого времени берутся отсчеты значений входного сигнала (в случайные моменты времени), общее количество N которых равно 1 млн. Отсчеты дискретизируются по уровню так, что каждый из них оказывается в одном из 32-х интервалов (называемых дифференциальными коридорами, или интервалами группирования выборочных значений). Интервалы нумеруются с 0-го по 31-й, их ширина равна 0,1 В, причем нижняя граница 0-го интервала равна 0 В, верхняя граница 31-го интервала равна +3,2 В. В течение времени измерения подсчитывается количество отсчетов ni, попавших в каждый интервал. Результат измерения выдается в виде гистограммы распределения на экран монитора, где горизонтальная ось масштабной сетки является осью значений сигнала в пределах 0…+3,2 В, вертикальная — осью относительных частот ni/N, i = 0,1…31.

Для считывания результатов измерения в цифровой форме служит цифровой индикатор, на котором отображается номер выбранного интервала и соответствующая ему частота (оценка вероятности) ni/N. Перебор номеров интервалов для цифрового индикатора осуществляется переключателем "Интервал". При этом на экране монитора выбранный интервал отмечается маркером.

Переключателем "Множитель" можно выбирать удобный для наблюдения масштаб гистограммы по вертикальной оси.

При выполнения настоящей работы переключатель диапазона входных напряжений анализатора (диапазона аналого-цифрового преобразования) должен быть установлен а положение 0…+3,2 В. Перед каждым измерением необходимо поочередно нажимать кнопки "Сброс" и "Пуск" (при нажатии кнопки "Сброс" обнуляется запоминающее устройство, а результаты предыдущего измерения переписываются в стековую память, из которой их можно вызвать переключателем "Страница").

Предположим, что на входе линейной стационарной системы присутствует колебание , представляющее собой некоторую реализацию случайного процесса. Если эта реализация указана заранее, то никакой новой задачи не возникает - к сигналуследует относится как к детерминированной функции. Зная математическую модель системы, например частотный коэффициент передачи, можно найти выходную реакцию.

Однако специфика состоит в том, что полные сведения о входном сигнале недоступны - мы располагаем лишь сведениями об усредненных вероятностных характеристиках случайного процесса .

Цель - исследовать связь между статистическими характеристиками процессов и, которая может быть найдена на основе математической модели системы.

Введем ограничение - будем рассматривать лишь стационарные входные случайные процессы . Математическое ожиданиемгновенных значений реализаций постоянно во времени (), в то время как функция корреляции зависит лишь от величины- абсолютного сдвига между точками на оси времени.

Рассмотрим отдельно взятую реализацию входного сигнала и представим ее в виде интеграла Фурье

где - спектральная плотность.

Выходной сигнал системы будет найден, если известен ее частотный коэффициент передачи

(1)

Предположение о стационарности процесса накладывает условие: среднее значение спектральной плотности.

Выполняя статистическое усреднение в обеих частях выражения (1), имеем

(2)

Для того, чтобы вычислить функцию корреляции , необходимо располагать значением выходного сигнала в момент времени.

(3)

Т.к. функция вещественна, поэтому формула (3) не измениться, если в ее правой части перейти к комплексно-сопряженным величинам

(4)

где ; - спектр мощности стационарного случайного процесса . (Используется фильтрующее свойство дельта-функции).

(6)

Спектр мощности выходного случайного сигнала связан с аналогичным спектром сигнала на входе соотношением

В прикладных задачах часто приходится иметь дело с односторонними спектрами и, которые определены только при положительных частотах,

поэтому дисперсия выходного сигнала

(9)

Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избирательные цепи широкополосных случайных сигналов, образованных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов. В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случайный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шумом с односторонним спектром мощности , где- некоторая точка в пределах полосы пропускания цепи.

Тогда формула (9) упростится

В инженерных расчетах линейную частотно-избирательную цепь, находящуюся под воздействием широкополосного случайного сигнала, удобно характеризовать шумовой полосой пропускания . Она определяется как полоса пропускания идеального полосового фильтра с вещественным коэффициентом передачи, равным максимуму модуля коэффициента передачи реальной цепи. При возбуждении идеальной и реальной систем белым шумом со спектром мощностидисперсии шумовых сигналов на выходах обеих цепей должны совпадать

(11)

Следовательно

(12)

Например, для интегрирующей RC-цепи

;

Следовательно

При этом .

Если входной случайный процесс нормален (гауссов характер законов распределения), то случайный процесс на выходе будет обладать этим свойством независимо от динамических свойств линейной системы.

На основании формулы Дюамеля мгновенное значение отклика

есть результат суммирования предшествующих значений входного сигнала , умноженных на сдвинутую импульсную характеристику цепи.

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

Для вычисления энергетического спектра G Y (f ) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H (j ω) воспользуемся его определением (4.1)

Функцию корреляции B Y (t) определим преобразованием Фурье энергетического спектра G Y (f )

.

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра DF существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия Df X ) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y (t ). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство DF << Df X (рис. 5.6).

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с Df X до DF ) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c t X до t Y ). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y (k t Y ) располагается примерно Df X / DF некоррелированных отсчетов воздействия X (l t X ), каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y (k t Y ) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X (l t X ) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

5.3. Узкополосные случайные процессы

СП X (t ) с относительно узким энергетическим спектром (Df X << f c ) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

где огибающая A (t ), фаза Y(t ) и начальная фаза j(t ) являются случайными процессами, а ω с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A (t ) и фазы Y(t ) целесообразно воспользоваться аналитическим СП

, (5.4)

Основные моментные функции аналитического СП :

1. Математическое ожидание

2. Дисперсия

3. Функция корреляции

,

,

.

Аналитический СП называют стационарным, если

,

,

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающая A (t ) и начальная фаза j(t ) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где – средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A (t ), а на выходе ФД – его начальной фазе j(t ). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A (t ) и фазы Y(t ) (распределение начальной фазы отличается от распределения Y(t ) только математическим ожиданием ).

Постановка задачи

Дано:

1) X (t ) = A (t )cosY(t ) – узкополосный центрированный стационарный нормальный СП (на выходе ПФ),

2) .

Определить:

1) w (A ) – одномерную плотность вероятности огибающей,

2) w (Y) – одномерную плотность вероятности фазы.

Для решения этой задачи наметим три этапа:

1. Переход к аналитическому СП и определение совместной плотности вероятности .

2. Расчет совместной плотности вероятности по вычисленной на первом этапе и связям A (t ), Y(t ) с (5.3) ÷ (5.6) .

3. Определение одномерных плотностей вероятности w (A ) и w (Y) по вычисленной совместной плотности вероятности .

Решение

1 этап . Найдем одномерную плотность вероятности процесса . На основе линейности преобразования Гильберта делаем вывод о том, что – нормальный СП. Далее, учитывая, что , получаем , а следовательно

Таким образом, имеем

.

Докажем некоррелированность в совпадающие моменты времени, т. е. что .

.

После подстановки , , , учитывая, что при , получим

Некоррелированность сечений нормальных процессов влечет их независимость, следовательно

.

2 этап . Расчет совместной плотности вероятности

,

где согласно (5.2), (5.5) и (5.6)

.

Следовательно, с учетом (5.3) имеем

. (5.7)

3 этап . Определение одномерных плотностей вероятности

Окончательно

, (5.8)

. (5.9)

Выражение (5.8) известно как распределение Рэлея , его график приведен на рис. 5.8. На рис. 5.9 приведен график равномерного распределения фазы (5.9).

Выражение (5.7) можно представить в виде произведения (5.8) и (5.9)

из чего следует независимость огибающей A (t ) и фазы w (Y) нормального СП.

Рассмотрим более сложную задачу прохождения аддитивной смеси выше рассмотренного нормального СП с гармоническим сигналом через АД и ФД. Постановка задачи сохраняется прежней за исключением исходного процесса Y (t ) , который приобретает вид

где X (t ) – центрированный нормальный СП.

Поскольку

.

Запишем Y (t ) в квазигармонической форме

и будем решать задачу определения плотностей вероятности w (A ) и w (j) по выше приведенному плану.

Предварительно запишем X (t ) в квазигармонической форме и через его квадратурные компоненты

, (5.10)

(5.11)

Для нахождения обратимся к аналитическому СП

.

Из его выражения видно, что являются линейными преобразованиями центрированного нормального СП X (t ):

и, следовательно, имеют нормальное распределение с дисперсиями

.

Докажем их некоррелированность (а следовательно и независимость) в совпадающие моменты времени

.

Здесь учтено, что B (t ) и θ(t ) – огибающая и фаза нормального СП являются, как выше установлено, независимыми.

Таким образом,

и с учетом (5.10) и (5.11) получаем

. (5.12)

Поскольку выражение (5.12) невозможно представить в виде произведения одномерных функций , то можно сделать вывод о зависимости процессов .

Для нахождения распределения огибающей суммы центрированного нормального СП с гармоническим сигналом проинтегрируем (5.12) по всем возможным значениям случайной фазы j(t )

.

Интеграл вида

известен в математике как модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. С его учетом окончательно имеем

. (5.13)

Выражение (5.13) называют обобщенным распределением Рэлея или распределением Райса . Графики этого выражения приведены на рис. 5.10 для следующих частных случаев:

1) U = 0 – обычное распределение Рэлея,

2) – случай отсутствия в Y (t ) СП X (t ),

3)
– обобщенное распределение Рэлея (Райса).

Из графиков видно, что чем больше отношение сигнал/шум тем правее смещен максимум плотности вероятности и тем симметричнее (ближе к нормальному распределению) кривая .

Выводы

1. Если мгновенные значения центрированного СП X (t ) имеют нормальное распределение, то его огибающая A (t ) распределена по закону Релея

,

а фаза Y(t ) равномерно

2. Распределение огибающей аддитивной смеси центрированного нормального СП и гармонического сигнала подчиняется обобщенному распределению Рэлея (оно же распределение Райса)

.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу анализа прохождения СП через заданный функциональный узел.

2. Как вычисляют плотность вероятности w (y ) реакции безынерционной цепи по известной плотности вероятности w (x ) воздействия?

3. Как вычисляют математическое ожидание реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

4. Как вычисляют дисперсию реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

5. Как вычисляют функцию корреляции реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

6. Как вычисляют совместную плотность вероятности w (у 1 , у 2­ ; t ) двух СП Y 1 (t ) и Y 2 (t ), связанных известными функциональными зависимостями и с двумя другими СП X 1 (t ) и X 2 (t )?

7. Как меняется распределение нормального СП при его прохождении через линейную цепь?

8. Как меняется произвольное распределение СП при его прохождении через узкополосный фильтр?

9. В чем суть явления нормализации широкополосного процесса при его прохождении через узкополосный фильтр? Дайте математическое обоснование этому явлению.

10. Опишите процедуру корреляционного анализа прохождения СП через линейную цепь.

11. Дайте определение огибающей и фазы СП.

12. Дайте определения аналитическому СП, его математическому ожиданию, дисперсии и функции корреляции.

13. Каким условиям удовлетворяет стационарный аналитический СП?

14. Каково распределение огибающей центрированного нормального СП?

15. Каково распределение фазы центрированного нормального СП?

16. Каково распределение огибающей суммы центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

17. Напишите аналитическое выражение закона Рэлея. Распределение какого СП он характеризует?

18. Напишите аналитическое выражение обобщенного закона Рэлея (закона Райса). Распределение какого СП он характеризует?

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Определим характеристики процесса на выходе системы: , и .

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными

функциями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (3.3.3) будет определиться выражением

(3.4.3)

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

(3.4.4)

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (3.4.3) и (3.4.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

(3.4.5)

Плотность распределения вероятности и числовые характеристики сигнала на выходе безынерционной нелинейной цепи.

Баскаков стр. 300 – 302

Прохождение случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.

Рассмотрим теперь задачу о прохождении случайного процесса через нелинейную систему. В общем случае эта задача весьма сложная, но она значительно упрощается, когда нелинейная система является безынерционной. В безынерционных нелинейных системах значения выходного процесса в данный момент времени определяются значениями входного процесса в тот же самый момент времени. Для нелинейных безынерционных преобразований более простой задачей является определение функций распределения на выходе в гораздо более сложной – определение корреляционной функции или энергетического спектра.

Как отмечалось выше, n - мерная функция распределения случайного процесса по сути дела является функцией распределения n случайных величин, представляющих собой значения случайного процесса в n различных моментов времени, Определение законов распределения функционально преобразованных случайных величин является сравнительно простой задачей.

Рассмотрим простейший пример одномерной случайной величины. Пусть - плотность вероятности случайной величины ζ, которая подвергается нелинейному преобразованию . Определим плотность вероятности случайной величины η. Предположим, что функция такова, что обратная ей функция – однозначна.

Если случайная величина ζ находится в достаточно малом интервале , то вследствие однозначной функциональной зависимости между ζ и η случайная величина η обязательно будет находиться в интервале , где , вероятности этих событий должны быть одинаковыми, т.е. (3.4.13)

откуда находим

(3.4.14)

Производная в последнем выражении берется по абсолютной величине, так как плотность вероятности не может быть отрицательной. Если обратная функция неоднозначная, т.е. имеет несколько ветвей , то для плотности вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей можно получить

(3.4.15)

Отметим, что для определения числовых характеристик нелинейно-преобразованных случайных процессов нет необходимости определять их плотности вероятностей. Действительно, в общем случае для начального момента k-го порядка имеем

(3.4.16)

Но согласно (3.4.13) и . Поэтому последнее выражение можно переписать

(3.4.17)

Полученные выражения (3.4.14) и (3.4.15) легко распространить на случай нескольких величин. Приведем здесь лишь окончательный результат для двумерного случая. Если случайные величины и имеют совместную плотность вероятностей , то для случайных величин

(3.4.18)

при однозначности обратных функций

совместная плотность вероятностей будет определяться выражением

Где величина

называется якобианом преобразования и представляет собой отношение элементарных площадей при переходе от одной системы координат к другой. Если , то справедливо равенство

где

Вопрос № 23

Дискретная импульсная последовательность, их спектр.

Баскаков стр. 382-383

Дискретизация периодических сигналов. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Восстановление исходного сигнала по ДПФ. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).

Баскаков стр. 388-392

Вопрос № 24

Принцип цифровой обработки (ЦО) сигналов на основе дискретного преобразования Фурье.

Баскаков стр. 400-405

Реализация алгоритмов цифровой фильтрации (трансверсальные ЦФ, рекурсивные ЦФ, импульсная характеристика, сигнал на выходе)

Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).

Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

Мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;

Для НФ проще вычисление коэффициентов.

Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

Рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;

Схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра бесконечная, а нерекурсивного конечная.

Баскаков стр. 405-408, 409-411, 413

Вопрос №25

Понятие отношения сигнал/шум, фильтрации и оптимального фильтра.

Отношение сигнал/шум - безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.

Фильтрация - это процесс обработки сигнала частотно-избирательными устройствами с целью изменения спектрального состава сигнала.

Оптимальным линейным фильтром называют частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. На выходе максимизирует отношение сигнал/шум.

Баскаков стр. 423-424

Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.

Баскаков стр. 425, 431-432

Характеристики оптимального (согласованного) фильтра для сигналов известной формы (АЧХ, ФЧХ, ИХ).

Сигнал на выходе согласованного фильтра.

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотно­стью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Опреде­лим характеристики процес­са на выходе системы: и

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реали­зации процесса на входе являются детерминированными функ­циями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть

усе­чённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) бу­дет определяться выражением

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристи­ки системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

Следовательно, при воздействии случайного стационарного про­цесса на Линейную систему на выходе получается также ста­ционарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение бе­лого шума со спектральной плотностью через иде­альный фильтр нижних частот, для которого

Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе бу­дет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет опре­деляться выражением

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение бе­лого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-час­тотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-пре­образования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 1.7

Рассмотренные примеры показательны с той точ­ки зрения, что они под­тверждают установлен­ную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастот­ного и узкополосного высокочастотного процес­сов с одинаковой фор­мой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от зако­на распределения на входе, и определение его является весь­ма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место яв­ление нормализации закона распределения. Это явление заклю­чается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.

Процесс на выходе инерционной системы в некоторый мо­мент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного про­цесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса про­пускания системы и шире спектр входного процесса, тем боль­шим числом элементарных откликов образуется выходной про­цесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляюще­го собой сумму большого числа элементарных откликов, бу­дет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.