1.1 Вероятность безотказной работы
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P
(l
)
, которая определяется по формуле (1.1):
где
N
0 - число элементов в начале испытания;
r
(l
) - число отказов элементов к моменту наработки.
Следует отметить, что чем больше величина
N
0
, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность
P
(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P
(0)
= 1, так как при пробеге l
= 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение - 1. С ростом пробега l
вероятность P
(l
) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P
(l
→∞)
= 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.
Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l) в зависимости от наработки
Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P (l ), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.
1.2 Вероятность отказа
Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в предела
х заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q
(l
), которая определяется по формуле (1.2):
В начале эксплуатации исправного локомотива Q (0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение - 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q (l ) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q (l →∞ ) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.
Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки
1.3 Частота отказов
Частота отказов - это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как и определяется по формуле (1.3):
где - количество отказавших элементов за промежуток пробега .
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.
Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
1.4 Интенсивность отказов
Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов - это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как и определяется по формуле (1.4):
где 
Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.
Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.
1.5 Средняя наработка до отказа
Средняя наработка до отказа - это средний пробег безотказной работы элемента до отказа.
Средняя наработка до отказа обозначается как L
1 и определяется по формуле (1.5):
где l
i
- наработка до отказа элемента; r
i
- число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W
ср и определяется по формуле (1.6):
1.7 Пример расчета показателей безотказности
Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0
= 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.
Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.
Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
| , тыс. км | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 |
Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:
Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).
Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:
Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.
По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.
Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).
Таблица 1.2.
| , тыс.км. | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 | |
| P(l) | 0,989 | 0,922 | 0,833 | 0,778 | 0,7 | 0,667 |
| Q(l) | 0,011 | 0,078 | 0,167 | 0,222 | 0,3 | 0,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,111 | 6,667 | 8,889 | 5,556 | 7,778 | 3,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,117 | 6,977 | 10,127 | 6,897 | 10,526 | 4,878 |
Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение - 1.
Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки
Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение - 0.
Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки
Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).
Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.
Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин
Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.
Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.
Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов, а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.
Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:
Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:
Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:
Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:
2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко
Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.
Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.
Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.
Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:
Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:
2.3 Закон распределения Рэлея
Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов).
Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.
Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора.
3.1 Основное соединение элементов
Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.
Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1
Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.
Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:
Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:
Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.
Таблица 3.1.
| l , час | P(l) | a(l) , час -1 |
| 0 | 1 | 0,00026 |
| 100 | 0,974355 | 0,000253 |
| 200 | 0,949329 | 0,000247 |
| 300 | 0,924964 | 0,00024 |
| 400 | 0,901225 | 0,000234 |
| 500 | 0,878095 | 0,000228 |
| 600 | 0,855559 | 0,000222 |
| 700 | 0,833601 | 0,000217 |
| 800 | 0,812207 | 0,000211 |
| 900 | 0,791362 | 0,000206 |
| 1000 | 0,771052 | 0,0002 |
Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2.
Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.
Рис. 3.2. Частота отказов системы.
3.2 Резервное соединение элементов
Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85.
Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.
Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.
Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:
Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:
Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:
Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:
Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).
Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.
Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют.
Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.
Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.
Рис. 3.6. Сблокированная схема.
Надежность системы без резервирования составит:
Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.
Интенсивность отказов - отношение плотности распределения вероятности отказов к вероятности безотказной работы объекта:
где - плотность вероятности отказов и - вероятность безотказной работы .
Простыми словами, интенсивность отказов выражает шанс отказать в ближайший момент времени объекта (например, прибора), который уже проработал без отказов определённое время.
Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих на интервале :
Где - среднее число исправно работающих образцов
на интервале .
Соотношение (1) для малых следует непосредственно из формулы вероятности безотказной работы (3)
и формулы плотности распределения безотказной работы (частоты отказов) (4)
На основе определения интенсивности отказов (1) имеет место равенство:
Интегрируя (5), получим:
Интенсивность отказов является основным показателем надёжности элементов сложных систем. Это объясняется следующими обстоятельствами:
- надёжность многих элементов можно оценить одним числом, т.к. интенсивность отказа элементов - величина постоянная;
- интенсивность отказов нетрудно получить экспериментально.
Опыт эксплуатации сложных систем показывает, что изменение интенсивности отказов большинства количества объектов описывается - образной кривой.
Время можно условно разделить на три характерных участка: 1. Период приработки. 2. Период нормальной эксплуатации. 3. Период старения объекта.
Период приработки объекта имеет повышенную интенсивность отказов, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа и наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем. В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически остаётся постоянной, при этом отказы носят слуайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за случайных изменений нагрузки, несоблюдения условий эксплуатации, неблагоприятных внешних факторов и т.п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта. Возрастание интенсивности отказов относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов из-за износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией. То есть вероятность отказа элемента, дожившего для момента в некотором последующем промежутке времени зависит от значений только на этом промежутке, а следовательно интенсивность отказов - локальный показатель надёжности элемента на данном промежутке времени.
Среднее значение наработок изделий в партии до первого отказа называется средней наработкой до первого отказа. Этот термин применим как для ремонтируемых, так и для неремонтируемых изделий. Для неремонтируемых изделий вместо названного можно применять термин средняя наработка до отказа.
ГОСТом 13377 – 67 для неремонтируемых изделий введен еще один показатель надежности, называемый интенсивностью отказов.
Интенсивность отказов есть вероятность того, что неремонтируемое изделие, проработавшее безотказно до момента t, откажет в последующую единицу времени, если эта единица мала.
Интенсивность отказов изделия есть функция времени от его работы.
В предположении, что безотказность некоторого блока в электронной системе управления автомобиля характеризуется интенсивностью отказов, численно равной рассчитанной, причем эта интенсивность не меняется в течение всего срока его службы, необходимо определить наработку до отказа Т Б такого блока.
Подсистема управления включает в себя k последовательно соединенных электронных блоков (рис.2).
Рис.2 Подсистема управления с последовательно включенными блоками.
Эти блоки имеют одинаковую интенсивность отказов, численно равную рассчитанной. Требуется определить интенсивность отказов подсистемы λ П и среднюю наработку ее до отказа , построить зависимости вероятности безотказной работы одного блока Р Б (t) и подсистемы Р П (t) от наработки и определить вероятности безотказной работы блока Р Б (t) и подсистемы Р П (t) к наработке t= T П.
Интенсивность отказов λ(t) рассчитывается по формуле:
, (5)
Где - статистическая вероятность отказа устройства на интервале или иначе статистическая вероятность попадания на указанный интервал случайной величины Т.
Р(t) – рассчитанная на шаге 1 – вероятность безотказной работы устройства.
Заданное значение 10 3 ч - 6,5
Интервал =
λ(t) = 0,4 / 0,4*3*10 3 ч = 0,00033
Предположим, что интенсивность отказов не меняется в течение всего срока службы объекта, т.е. λ(t) = λ = const, то наработка до отказа распределена по экспоненциальному (показательному) закону.
В этом случае вероятность безотказной работы блока:
(6)
Р Б (t) = exp (-0.00033*6.5*10 3) = exp(-2.1666) = 0.1146
А средняя наработка блока до отказа находится как:
1/0,00033 = 3030,30 ч.
При последовательном соединении k блоков интенсивность отказов образуемой ими подсистемы:
(8)
Т.к.интенсивности отказов всех блоков одинаковы, то интенсивность отказов подсистемы:
λ П = 4*0,00033 = 0,00132 ч.,
а вероятность безотказной работы системы:
(10)
Р П (t) = exp (-0.00132*6.5*10 3) = exp (-8,58) = 0.000188
С учетом (7) и (8) средняя наработка подсистемы до отказа находится как:
(11)
1/0,00132 = 757,58 ч.
Вывод: по мере приближения к предельному состоянию – интенсивность отказов объектов возрастает.
Расчет вероятности безотказной работы .
Задание: Для наработки t = требуется рассчитать вероятность безотказной работы Рс() системы (рис. 3), состоящей из двух подсистем, одна из которых является резервной.
Рис. 3 Схема системы с резервированием.
Расчет ведется в предположении, что отказы каждой из двух подсистем независимы.
Вероятности безотказной работы каждой системы одинаковы и равны Р П (). Тогда вероятность отказа одной подсистемы:
Q П () = 1 – 0,000188 = 0,99812
Вероятность отказа всей системы определяется из условия, что отказала и первая, и вторая подсистемы, т.е.:
0,99812 2 = 0,99962
Отсюда вероятность безотказной работы системы:
,
Р с () = 1 – 0,98 = 0,0037
Вывод: в данном задании была рассчитана вероятность безотказной работы системы при отказе первой и второй подсистемы. По сравнению с последова-тельной структурой вероятность безотказной работы системы меньше.
Частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.
Так как число отказавших образцов в интервале времени может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов является функцией времени. Эта характеристика в дальнейшем обозначается α(t).
Согласно определению
где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до ; N 0 – число образцов аппаратуры, первоначально установленных на испытание; – интервал времени.
Выражение (1.10) является статистическим определением частоты отказов. Этой количественной характеристике надежности легко дать вероятностное определение. Вычислим в выражении (1.10) n (t), т.е. число образцов, отказавших в интервале. Очевидно,
n(t) = -, (1.11)
где N(t) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t; N(t + ) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t + .
При достаточно большом числе образцов (N 0) справедливы соотношения:
N(t) = N 0 P(t);
N(t+ ) = N 0 P(t+ ). (1.12)
Подставляя выражение (1.11) в выражение (1.10) и учитывая выражение (1.12), получим:
,
а с учетом выражения (1.4) получим:
α(t) = Q / (t) (1.13)
Из выражения (1.13) видно, что частота отказов характеризует плотность распределения времени работы аппаратуры до ее отказа . Численно она равна взятой с обратным знаком производной от вероятности безотказной работы. Выражение (1.13) является вероятностным определением частоты отказов.
Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени возникновения отказов существуют однозначные зависимости. Эти зависимости на основании (1.13) и (1.4) имеют вид:
. (1.15)
Частота отказов, являясь плотностью распределения, наиболее полно характеризует такое случайное явление, как время возникновения отказов. Вероятность безотказной работы, математическое ожидание, дисперсия и т.п. являются лишь удобными характеристиками распределения и всегда могут быть получены, если известна частота отказов α(t). В этом ее основное достоинство как характеристики надёжности.
Характеристика α(t) имеет также существенные недостатки. Эти недостатки становятся ясными при детальном рассмотрении выражения (1.10). При определении a(t) из экспериментальных данных фиксируется число отказавших образцов n(t) за промежуток времени при условии, что все отказавшие ранее образцы не восполняются исправными. Это означает, что частоту отказов можно использовать для оценки надежности только такой аппаратуры, которая после возникновения отказа не ремонтируется и в дальнейшем не эксплуатируется (например, аппаратуры разового использования, простейших элементов, не поддающихся ремонту, и т.п.). В противном случае частота отказов характеризует надежность аппаратуры лишь до первого ее отказа.
Оценить с помощью частоты отказов надежность аппаратуры длительного пользования, которая может ремонтироваться, затруднительно. Для этой цели необходимо иметь семейство кривых α(t), полученных: до первого отказа, между первым и вторым, вторым и третьим отказами и т.д. Следует, однако, заметить, что при отсутствии старения аппаратуры указанные частоты отказов будут совпадать. Поэтому α(t) хорошо характеризует надежность аппаратуры также в том случае, когда отказы подчиняются экспоненциальному распределению.
Надежность аппаратуры длительного использования можно характеризовать частотой отказов, полученной при условии замены отказавшей аппаратуры исправной. При этом внешне формула (1.10) не изменяется, однако меняется ее внутреннее содержание.
Частота отказов, полученная при условии замены отказавшей аппаратуры исправной (новой или восстановленной), иногда называется средней частотой отказов и обозначается .
Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя, заменяются исправными (новыми или восстановленными).
Таким образом,
где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до , N 0 – число испытываемых образцов (N 0 остается в процессе испытания постоянным, так как все отказавшие образцы заменяются исправными), – интервал времени.
Средняя частота отказов обладает следующими важными свойствами:
1) . Это свойство становится очевидным, если учесть, что ;
2) независимо от вида функции α(t) при средняя частота отказов стремится к некоторой постоянной величине;
3) главное достоинство средней частоты отказов как количественной характеристики надежности состоит в том, что она позволяет довольно полно оценить свойства аппаратуры, работающей в режиме смены элементов. К такой аппаратуре относятся сложные автоматические системы, предназначенные для длительного использования. Подобные системы после возникновения отказов ремонтируются и затем вновь эксплуатируются;
4) средняя частота отказов может быть также использована для оценки надежности сложных систем разового применения в процессе их хранения;
5) она также довольно просто позволяет определить число отказавших в аппаратуре элементов данного типа. Это свойство может быть использовано для вычисления необходимого количества элементов для нормальной эксплуатации аппаратуры в течение времени t. Поэтому является наиболее удобной характеристикой для ремонтных предприятий;
1) знание позволяет также правильно спланировать частоту профилактических мероприятий, структуру ремонтных органов, необходимое количество и номенклатуру запасных элементов.
К недостаткам средней частоты отказов следует отнести сложность определения других характеристик надежности, и в частности основной из них вероятности безотказной работы, при известной .
Сложная система состоит из большого числа элементов. Поэтому представляет интерес найти зависимость средней частоты отказов. Введем понятие суммарной частоты отказов сложной системы.
Суммарной частотой отказов называется число отказов аппаратуры в единицу времени, приходящееся на один ее экземпляр.
Интенсивность отказов () называется вероятность отказа не ремонтируемого изделия в единицу времени при условии, что отказ до этого момента не возникал. Предположим, что некоторый элемент проработал в течение интервала времени от 0 до t. Какова вероятность того, что этот элемент откажет на интервале .
А-событие безотказной работы от 0 до t. В-событие безотказной работы от t до t 1 .
Для того чтобы элемент смог безотказно работать на интервале он должен безотказно проработать на интервале 0 до t.
Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) (1)
Р(А) =Р(0,t) – вероятность безотказной работы элемента на интервале от 0 до t.
Р(В/А) = Р(t,t 1) – условная вероятность события В, что условие А имело место.
Р(В/А)= Р(t,t 1)=Р(АВ)/Р(А); Р(АВ)= Р(0,t 1).
0, t= 0,t+ t, t 1 ,
Р(t,t 1)= Р(0,t 1)/ Р(0,t) (2)
Р(t,t 1)= Р(t 1)/ Р(t) (2а)
Вероятность отказа элемента на интервале (t, t 1):
Равенство (3) может быть переписано в виде: . Умножим числитель и знаменатель (4) на при .
Введем обозначение - интенсивность отказа.
Из равенства (5) с учетом (6) получим: , .
Из (7) следует что интенсивность отказа есть отношение вероятности отказа на интервал () при . Интенсивность отказов определяемая (7) стремится к интенсивности отказа определяемая равенством (6). В соответствии (6) величина может быть определена из графика функции надежности как отношение численного значения тангенса угла наклона касательной к кривой к численной ординаты функции надежности.
Если известна интенсивность отказа элементов, то можно рассчитать вероятность работы любой сколь угодно сложной системы. Незнание функции для составляющих элементов исключает возможность определить вероятность безотказной работы.
Чем менее точно известно для элементов тем больше ошибки в расчете безотказности изделия.
Интенсивность отказов может быть определена опытным путем на основе испытаний изделий.
Предположим Р(t) – есть отношение: , - число элементов, оставшихся безотказными. Тогда на малом отрезке и большом числе испытуемых образцов N.
где -число отказавших элементов на интервале времени, n(t)-число неотказавших элементов.
Экспериментальная кривая заменяется плавной кривой. Чем больше N и меньше интервал времени , тем точнее экспериментальная характеристика и заменяющая её плавная кривая, которая отражает действительную картину интенсивности отказов.
Эргодическая теория. На основании известной из теории вероятности эргодической теории среднее значение (мат. ожидание) при совокупном наблюдении ……….равна среднему значению по времени, определенной за одной системой (элементов).
В данном случае это означает, что изменение интенсивности отказа по времени для 1-го отдельно взятого элемента может быть описано тем же самым законом что и интенсивность, полученная при испытании однотипных элементов большой группы.
Вид функции показан 3 характерных участка:
I – участок приработки; II – нормальной эксплуатации; III – участок износовых отказов, могут возникать внезапные отказы.
Деление на участки является условным но оно позволяет рассмотреть работу элементов по участкам и для каждого участка применять свой закон распределения.
Общая формула безотказной работы позволяет определить Р если известна интенсивность отказа.
Если требуется определить вероятность безотказной работы . Равенство (12) справедливо при условии, что в момент времени t 1 элемент находился в работоспособном состоянии.