Классификация сигналов
модулятор сигнал радиотехнический спектр
Радиотехнические сигналы классифицируются:
По физической природе носителя информации:
электрические;
электромагнитные;
оптические;
акустические и др.;
По способу задания сигнала:
регулярные (детерминированные), заданные аналитической функцией;
нерегулярные (случайные), принимающие произвольные значения в любой момент времени. Для описания таких сигналов используется аппарат теории вероятностей.
В зависимости от функции, описывающей параметры сигнала, выделяют аналоговые, дискретные, квантованные и цифровые сигналы:
непрерывные (аналоговые), описываемые непрерывной функцией;
дискретные, описываемые функцией отсчётов, взятых в определённые моменты времени;
квантованные по уровню;
дискретные сигналы, квантованные по уровню (цифровые).
Виды сигналов
Аналоговый сигнал:
Большинство сигналов имеют аналоговую природу, то есть изменяются непрерывно во времени и могут принимать любые значения на некотором интервале. Аналоговые сигналы описываются некоторой математической функцией времени.
Пример АС - гармонический сигнал - s(t) = A·cos (щ·t + ц).
Аналоговые сигналы используются в телефонии, радиовещании, телевидении. Ввести такой сигнал в компьютер и обработать его невозможно, так как на любом интервале времени он имеет бесконечное множество значений, а для точного (без погрешности) представления его значения требуются числа бесконечной разрядности. Поэтому необходимо преобразовать аналоговый сигнал так, чтобы можно было представить его последовательностью чисел заданной разрядности.
Дискретный сигнал:
Дискретизация аналогового сигнала состоит в том, что сигнал представляется в виде последовательности значений, взятых в дискретные моменты времени. Эти значения называются отсчётами. Дt называется интервалом дискретизации.
Квантованный сигнал:
При квантовании вся область значений сигнала разбивается на уровни, количество которых должно быть представлено в числах заданной разрядности. Расстояния между этими уровнями называется шагом квантования Д. Число этих уровней равно N (от 0 до N_1). Каждому уровню присваивается некоторое число. Отсчёты сигнала сравниваются с уровнями квантования и в качестве сигнала выбирается число, соответствующее некоторому уровню квантования. Каждый уровень квантования кодируется двоичным числом с n разрядами. Число уровней квантования N и число разрядов n двоичных чисел, кодирующих эти уровни, связаны соотношением n ? log2 (N).
Цифровой сигнал:
Для того, чтобы представить аналоговый сигнал последовательностью чисел конечной разрядности, его следует сначала превратить в дискретный сигнал, а затем подвергнуть квантованию. Квантование является частным случаем дискретизации, когда дискретизация происходит по одинаковой величине называемой квантом. В результате сигнал будет представлен таким образом, что на каждом заданном промежутке времени известно приближённое (квантованное) значение сигнала, которое можно записать целым числом. Если записать эти целые числа в двоичной системе, получится последовательность нулей и единиц, которая и будет являться цифровым сигналом.
Прежде чем приступить к изучению каких-либо новых явлений, процессов или объектов, в науке всегда стремятся провести их классификацию по возможно большим признакам. Для рассмотрения и анализа сигналов выделим их основные классы. Это необходимо по двум причинам. Во-первых, проверка принадлежности сигнала к конкретному классу - процедура анализа. Во-вторых, для представления и анализа сигналов разных классов зачастую приходится использовать разные средства и подходы. Основные понятия, термины и определения в области радиотехнических сигналов устанавливает национальный (ранее, государственный) стандарт «Сигналы радиотехнические. Термины и определения». Радиотехнические сигналы чрезвычайно разнообразны. Часть краткой классификации сигналов по ряду признаков приведена на рис. 1. Более подробно сведения о ряде понятий изложены далее. Радиотехнические сигналы удобно рассматривать в виде математических функций, заданных во времени и физических координатах. С этой точки зрения сигналы обычно описывается одной (одномерный сигнал; n = 1), двумя
(двумерный сигнал; n = 2) или более (многомерный сигнал n > 2) независимыми переменными. Одномерные сигналы являются функциями только времени, а многомерные, кроме того, отражают положение в n-мерном пространстве .
Рис.1. Классификация радиотехнических сигналов
Будем для определенности и упрощения в основном рассматривать одномерные сигналы, зависящие от времени, однако материал учебного пособия допускает обобщение и на многомерный случай, когда сигнал представляется в виде конечной или бесконечной совокупности точек, например в пространстве, положение которых зависит от времени. В телевизионных системах сигнал черно-белого изображения можно рассматривать как функцию f(x, у, f) двух пространственных координат и времени, представляющую интенсивность излучения в точке (х, у) в момент времени t на катоде. При передаче цветного телевизионного сигнала имеем три функции f(x, у, t), g(x, у, t), h(x, у, t), определенные на трехмерном множестве (можно рассматривать эти три функции также как компоненты трехмерного векторного поля). Кроме того, различные виды телевизионных сигналов могут возникать при передаче телевизионного изображения совместно со звуком.
Многомерный сигнал - упорядоченная совокупность одномерных сигналов. Многомерный сигнал создает, например, система напряжений на зажимах многополюсника (рис. 2). Многомерные сигналы описывают сложными функциями, и их обработка чаще возможна в цифровой форме. Поэтому многомерные модели сигналов особенно полезны в случаях, когда функционирование сложных систем анализируется с помощью компьютеров. Итак, многомерные, или векторные, сигналы состоят из множества одномерных сигналов
где n - целое число, размерность сигнала.
Р
ис.
2. Система напряжений многополюсника
По особенностям структуры временного представления (рис. 3) все радиотехнические сигналы делятся на аналоговые (analog), дискретные (discrete-time; от лат. discretus - разделенный, прерывистый) и цифровые (digital).
Если физический процесс, порождающий одномерный сигнал, можно представить непрерывной функцией времени u(t) (рис. 3, а), то такой сигнал называют аналоговым (непрерывным), или, более обобщенно, континуальным (continuos - многоступенчатым), если последний имеет скачки, разрывы по оси амплитуд. Заметим, что традиционно термин «аналоговый» используют для описания сигналов, которые непрерывны во времени. Непрерывный сигнал можно трактовать как действительное или комплексное колебание во времени u(t), являющейся функцией непрерывной действительной временной переменной. Понятие «аналоговый» сигнал связано с тем, что его любое мгновенное значение аналогично закону изменения соответствующей физической величины во времени. Примером аналогового сигнала является некоторое напряжение, которое подано на вход осциллографа, в результате чего на экране возникает непрерывная кривая как функция времени. Поскольку современная обработка непрерывных сигналов с использованием резисторов, конденсаторов, операционных усилителей и т. п. имеет мало общего с аналоговыми компьютерами, термин «аналоговый» сегодня представляется не совсем неудачным. Более корректным было бы называть непрерывной обработкой сигналов то, что сегодня обычно называют аналоговой обработкой сигналов.
В радиоэлектронике и технике связи широко применяются импульсные системы, устройства и цепи, действие которых основано на использовании дискретных сигналов. Например, электрический сигнал, отражающий речь, является непрерывным как по уровню, так и по времени, а датчик температуры, выдающий ее значения через каждые 10 мин, служит источником сигналов, непрерывных по значению, но дискретных по времени.
Дискретный сигнал получают из аналогового путем специального преобразования. Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией (sampling), а результат такого преобразования - дискретным сигналом или дискретным рядом (discrete series).
Простейшая
математическая модель дискретного
сигнала
- последовательность точек на временной
оси, взятых, как правило, через равные
промежутки времени
,
называемые периодом дискретизации (или
интервалом, шагом дискретизации;sample
time),
и в каждой из которых заданы значения
соответствующего непрерывного сигнала
(рис. 3, б). Величина, обратная периоду
дискретизации, называется частотой
дискретизации (sampling
frequency):
(другое обозначение
).
Соответствующая ей угловая (круговая)
частота определяется следующим образом:
.
Дискретные сигналы могут быть созданы непосредственно источником информации (в частности, дискретные отсчеты сигналов датчиков в системах управления). Простейшим примером дискретных сигналов могут служить сведения о температуре, передаваемые в программах новостей радио и телевидения, в паузах же между таким передачами сведений о погоде обычно нет. Не следует думать, что дискретные сообщения обязательно преобразуют в дискретные сигналы, а непрерывные сообщения - в непрерывные сигналы. Чаще всего именно непрерывные сигналы используют для передачи дискретных сообщений (в качестве их переносчиков, т. е. несущей). Дискретные же сигналы можно использовать для передачи непрерывных сообщений.
Очевидно, что в общем случае представление непрерывного сигнала набором дискретных отсчетов приводит к определенной потере полезной информации, так как мы ничего не знаем о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Однако, существует класс аналоговых сигналов, для которых такой потери информации практически не происходит, и поэтому они могут быть с высокой степенью точности восстановлены по значениям своих дискретных отсчетов.
Разновидностью
дискретных сигналов является цифровой
сигнал (digital
signal),
В процессе преобразования дискретных
отсчетов сигнала в цифровую форму
(обычно в двоичные числа) производится
его квантование по уровню (quantization)
напряжения
.
При этом значения уровней сигнала можно
пронумеровать двоичными числами с
конечным, требуемым числом разрядов.
Сигнал, дискретный во времени и
квантованный по уровню, называют цифровым
сигналом. Кстати, сигналы, квантованные
по уровню, но непрерывные во времени,
на практике встречаются редко. В цифровом
сигнале дискретные значения сигнала
вначале квантуют по уровню (рис. 3, в) и
затем квантованные отсчеты дискретного
сигнала заменяют числами
чаще всего реализованными в двоичном
коде, который представляют высоким
(единица) и низким (нуль) уровнями
потенциалов напряжения - короткими
импульсами длительностью
(рис. 3, г). Такой код называют униполярным.
Поскольку отсчеты могут принимать
конечное множество значений уровней
напряжения (см. например второй отсчет
на рис. 3, г, который в цифровом виде
практически равновероятно может быть
записан как числом 5 - 0101, так и числом
4 - 0100), то при представлении сигнала
неизбежно происходит его округление.
Возникающие при этом ошибки округления
называются ошибками (или шумами)
квантования (quantization
error,
quantization
noise).
Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом (discrete series). Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются цифровыми отсчетами сигнала (samples). Далее квантованное значение сигнала представляется в виде набора импульсов, характеризующих нули («0») и единицы («1») при представлении этого значения в двоичной системе счисления (рис. 3, г). Набор импульсов используют для амплитудной модуляции несущего колебания и получения кодово-импульсного радиосигнала.
В результате цифровой обработки не получается ничего «физического», только цифры. А цифры - это абстракция, способ описания информации, содержащейся в сообщении. Следовательно, нам необходимо иметь что-то физическое, что будет представлять цифры или «являться носителем» цифр. Итак, сущность цифровой обработки состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и т. д.) преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве.
Трансформированный цифровой сигнал (последовательность чисел) при необходимости может быть преобразован обратно, в напряжение или ток.
Цифровая обработка сигналов предоставляет широкие возможности по передаче, приему и преобразованию информации, в том числе и те, которые не могут быть реализованы с помощью аналоговой техники. На практике при анализе и обработке сигналов чаще всего цифровые сигналы заменяют дискретными, а их отличие от цифровых интерпретируют как шум квантования. В связи с этим эффекты, связанные с квантованием по уровню и оцифровкой сигналов, в большинстве случаев не будут приниматься во внимание. Можно сказать, что и в дискретных и цифровых цепях (в частности, в цифровых фильтрах) обрабатывают дискретные сигналы, только внутри структуры цифровых цепей эти сигналы представлены числами.
Вычислительные устройства, предназначенные для обработки сигналов, могут оперировать с цифровыми сигналами. Существуют также устройства, построенные в основном на базе аналоговой схемотехники, которые работают с дискретными сигналами, представленными в виде импульсов различной амплитуды, длительности или частоты повторения.
Одним из основных признаков, по которым различаются сигналы, является предсказуемость сигнала (его значений) во времени.
Р
ис.
3. Радиотехнические сигналы:
а - аналоговый; б - дискретный; в - квантованный; г - цифровой
По математическому представлению (по степени наличия априорной, от лат. a priori - из предшествующего, т. е. доопытной информации) все радиотехнические сигналы принято делить на две основные группы: детерминированные (регулярные; determined) и случайные (casual) сигналы (рис. 4).
Детерминированными называют радиотехнические сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени достоверно известны, т. е. предсказуемы с вероятностью, равной единице. Детерминированные сигналы описываются заранее заданными функциями времени. Кстати, мгновенное значение сигнала - это мера того, на какое значение и в каком направлении переменная отклоняется от нуля; таким образом, мгновенные значения сигнала могут быть как положительными, так и отрицательными (рис. 4, а). Простейшими примерами детерминированного сигнала являются гармоническое колебание с известной начальной фазой, высокочастотные колебания, модулированные по известному закону, последовательность или пачка импульсов, форма, амплитуда и временное положение которых заранее известны .
Если бы передаваемое по каналам связи сообщение было детерминированным, т. е. заранее известным с полной достоверностью, то его передача была бы бессмысленной. Такое детерминированное сообщение по сути дела не содержит никакой новой информации. Поэтому сообщения следует рассматривать как случайные события (или случайные функции, случайные величины). Иначе говоря, должно существовать некоторое множество вариантов сообщения (например, множество различных значений давления, выдаваемых датчиком), из которых реализуют с определенной вероятностью одно. В связи с этим и сигнал является случайной функцией. Детерминированный сигнал не может быть носителем информации. Его можно использовать лишь для испытаний радиотехнической системы передачи информации или тестирования отдельных ее устройств. Случайный характер сообщений, а также помех обусловил важнейшее значение теории вероятностей в построении теории передачи информации.
Рис. 4. Сигналы:
а - детерминированный;
б - случайный
Детерминированные сигналы разделяют на периодические и непериодические (импульсные). Сигнал конечной энергии, существенно отличный от нуля в течение ограниченного интервала времени, соизмеримого со временем завершения переходного процесса в системе, для воздействия на которую он предназначен, называют импульсным сигналом.
Случайными называют сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени не известны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице. Фактически для случайных сигналов можно знать только вероятность того, что он примет какое-либо значение.
Может показаться, что понятие «случайный сигнал» не совсем корректно.
Но это не так. Например, напряжение на выходе приемника тепловизора, направленного на источник ИК-излучения, представляет хаотические колебания, несущие разнообразную информацию об анализируемом объекте. Строго говоря, все сигналы, встречающиеся на практике, являются случайными и большинство из них представляют хаотические функции времени (рис. 4, б). Как ни парадоксально на первый взгляд, но сигналом, несущим полезную информацию, может быть только случайный сигнал. Информация в таком сигнале заложена во множестве амплитудных, частотных (фазовых) или кодовых изменений передаваемого сигнала. Сигналы связи во времени меняют мгновенные значения, причем эти изменения могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Таким образом, сигналы связи являются в некотором роде случайными процессами, поэтому и их описание осуществляется посредством методов, аналогичных методам описания случайных процессов.
В процессе передачи полезной информации радиотехнические сигналы могут быть подвергнуты тому или иному преобразованию. Это обычно отражают в их названии: сигналы модулированные, демодулированные (детектированные), кодированные (декодированные), усиленные, задержанные, дискретизированные, квантованные и др.
По назначению, которое сигналы имеют в процессе модуляции, их можно разделить на модулирующие (первичный сигнал, который модулирует несущее колебание) или модулируемые (несущее колебание).
По принадлежности к тому или иному виду радиотехнических систем, и в частности систем передачи информации, различают «связные», телефонные, телеграфные, радиовещательные, телевизионные, радиолокационные, радионавигационные, измерительные, управляющие, служебные (в том числе пилот-сигналы) и другие сигналы.
Приведенная краткая классификация радиотехнических сигналов не полностью охватывает все их разнообразие.
Использование термина «простой» сигнал, как радиоимпульс с простой формой огибающей и высокочастотным заполнением колебанием неизменной частоты, является общепринятым. Для простых сигналов произведение ширины спектра А/ на длительность At, т.е. база сигнала Б, равная произведению полосы, занимаемой сигналом на его длительность, представляет собой величину, близкую к «1»:
В частности, прямоугольный импульс с постоянной частотой заполнения относится к классу простых сигналов, так как для него А/*« /х и; At = t b , и, следовательно, выполняется условие (4.11).
Сигналы, для которых произведение их длительности на ширину спектра, г.е. база, значительно превышает единицу (Б >> 1), получили название «сложных» (сигналы сложной формы).
Для увеличения потенциальной точности измерения дальности в радиолокации необходимо использовать сигналы с широким спектром. При ограничении пиковой мощности импульса для сохранения дальности действия РТС целесообразно расширять спектр зондирующего сигнала не за счет его укорочения, а за счет введения внутри- импульсной фазовой или частотной модуляции, т.е. за счет перехода к сложным сигналам.
Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией
В радиолокации широко используют линейно-частотно-моду- лированные (ЛЧМ) импульсные сигналы, несущая частота которых может быть представлена в виде:
где/ 0 - начальное значение частоты; Д/д- девиация частоты; т и - длительность импульса. Линейному закону изменения частоты (4.12) соответствует квадратичный закон изменения фазы ЛЧМ-сигнала:
У ЛЧМ-импульса с огибающей прямоугольной формы, представленного на рис. 4.9, комплексная огибающая имеет вид:
Рис. 4.9.
Нормированная функция рассогласования имеет вид:
Эта функция описывает рельеф тела неопределенности прямоугольного ЛЧМ-импульса, сечение которого вертикальной плоскостью Q = 0 - огибающая ЛЧМ-импульса на выходе согласованного фильтра при отсутствии расстройки по частоте. Ее график представлен на рис. 4.10 сплошной линией. Для сравнения прямой линией показана огибающая прямоугольного радиоимпульса с постоянной частотой заполнения и длительностью т н на выходе СФ. Как видно из этого рисунка, при прохождении ЛЧМ-импульса через СФ происходит его сжатие во времени. Если на входе фильтра импульс имел длительность т,„ = т и,то на выходе длительность импульса составляет х ош = т (1 ДО д 2,47г (по уровню 0,5). Тогда коэффициент сжатия
Рис. 4.10.
Коэффициент сжатия прямо пропорционален девиации частоты. Поскольку длительность импульса и девиацию частоты можно задавать независимо друг от друга, удается реализовать большой коэффициент сжатия.
Поскольку ДО л « ДО, ДО - ширина спектра ЛЧМ-импульса, коэффициент сжатия (15.15) оказывается практически равным базе сигнала К с & Б (это распространяется на все сложные сигналы). Сложный сигнал с помощью СФ можно сжать по длительности на величину, равную базе сигнала.
Поясним сжатие ЛЧМ-сигнала в СФ. ЛЧМ-сигналу, изображенному на рис. 4.9, соответствует согласованный фильтр с импульсной харакгеристикой (рис. 4.11). Импульсная харакгеристика огража- ет отклик системы на воздействие дельта-импульса. На выходе фильтра, в соответствии с процедурой свертки воздействия импульсной реакции, вначале появляются составляющие более высокой частоты, а затем более низкой, т.е. составляющие высокой частоты задерживаются в фильтре в меньшей степени, чем низкочастотные. Нижние частоты ЛЧМ-импульса поступают на вход СФ раньше (см. рис. 4.9), но задерживаются они в большей степени; высшие частоты действуют позже, но задерживаются меньше. В результате группы различных частот совмещаются и происходит укорочение импульса.
Рис. 4.11.
В качестве фильтров используются линии задержки (ЛЗ)на поверхностных акустических волнах (ПАВ). На входе и выходе ЛЗ встроено- штыревые преобразователи (ВШП) преобразуют энергию электрического поля в механическую и обратно. Для различных частот различна действующая длина звуконровода и высокочастотные составляющие догоняют низкочастотные. Тем самым реализуется сжатие ЛЧМ-импульсов.
Совместное разрешение ЛЧМ-им- пульсов по времени и частоте осуществить значительно сложнее, чем разрешение тех же импульсов но одному из параметров (при известном значении другого параметра). Это следует из диаграммы неопределенности ЛЧМ-радиоимпульса (рис. 4.12). Рис - 41 2. Диаграмма
^ неопределенности
Совместное разрешение сигналов по вре- ЛЧМ-импульса мени запаздывания и частоте возможно, если их параметры лежат вне выделенной области.
В качестве переносчика сообщений используются высокочастотные электромагнитные колебания (радиоволны) соответствующего диапазона, способные распространяться на большие расстояния.
Колебание несущей частоты, излучаемое передатчиком, характеризуется: амплитудой, частотой и начальной фазой. В общем случае оно представляется в виде:
i = I m sin(ω 0 t + Ψ 0) ,
где: i – мгновенное значение тока несущего колебания;
I m – амплитуда тока несущего колебания;
ω 0 – угловая частота несущего колебания;
Ψ 0 – начальная фаза несущего колебания.
Первичные сигналы (передаваемое сообщение, преобразованное в электрическую форму), управляющие работой передатчика, могут изменять один из этих параметров.
Процесс управления параметрами тока высокой частоты с помощью первичного сигнала, называется модуляцией (амплитудной, частотной, фазовой). Для телеграфных видов передач применяется термин «манипуляция».
В радиосвязи, для передачи информации, применяются радиосигналы:
радиотелеграфные;
радиотелефонные;
фототелеграфные;
телекодовые;
сложные виды сигналов.
Радиотелеграфная связь различается: по способу телеграфирования; по способу манипуляции; по применению телеграфных кодов; по способу использования радиоканала.
В зависимости от способа и скорости передачи радиотелеграфные связи делятся на ручные и автоматические. При ручной передаче манипуляция осуществляется телеграфным ключом с использованием кода МОРЗЕ. Скорость передачи (при слуховом приеме) составляет 60–100 знаков в минуту.
При автоматической передаче манипуляция осуществляется электромеханическими устройствами, а прием с помощью печатающих аппаратов. Скорость передачи 900–1200 знаков в минуту.
По способу использования радиоканала телеграфные передачи подразделяются на одноканальные и многоканальные.
По способу манипуляции к наиболее распространенным телеграфным сигналам относятся сигналы с амплитудной манипуляцией (АТ – амплитудный телеграф – А1), с частотной манипуляцией (ЧТ и ДЧТ – частотная телеграфия и двойная частотная телеграфия – F1 и F6), с относительной фазовой манипуляцией (ОФТ – фазовая телеграфия – F9).
По применению телеграфных кодов используются телеграфные системы с кодом МОРЗЕ; стартстопные системы с 5-ти и 6-ти значным кодом и другие.
Телеграфные сигналы представляют собой последовательность прямоугольных импульсов (посылок) одинаковой или различной длительности. Наименьшая по длительности посылка называется элементарной.
Основные параметры телеграфных сигналов: скорость телеграфирования (V) ; частота манипуляции (F) ;ширина спектра (2D f) .
Скорость телеграфирования V равна количеству элементарных посылок, передаваемых за одну секунду, измеряется в бодах. При скорости телеграфирования 1 бод за 1 с передается одна элементарная посылка.
Частота манипуляции F численно равна половине скорости телеграфирования V и измеряется в герцах: F= V/2 .
Амплитудно-манипулированный телеграфный сигнал имеет спектр (рис.2.2.1.1), в котором кроме несущей частоты, содержится бесконечное множество частотных составляющих, расположенных по обе стороны от нее, с интервалами равными частоте манипуляции F. На практике для уверенного воспроизведения телеграфного радиосигнала достаточно принять кроме сигнала несущей частоты по три составляющих спектра, расположенных по обе стороны от несущей. Таким образом, ширина спектра амплитудно-манипулированного телеграфного ВЧ сигнала равна 6F. Чем больше частота манипуляции, тем шире спектр ВЧ телеграфного сигнала.
Рис. 2.2.1.1. Временное и спектральное представление сигнала АТ
При частотной манипуляции ток в антенне по амплитуде не изменяется, а меняется только частота в соответствии с изменением манипулирующего сигнала. Спектр сигнала ЧТ (ДЧТ) (рис. 2.2.1.2) представляет собой как бы спектр двух (четырех) независимых амплитудно-манипулированных колебаний со своими несущими частотами. Разность между частотой «нажатия» и частотой «отжатия» называется разносом частот, обозначается ∆f и может находиться в пределах 50 – 2000 Гц (чаще всего 400 – 900 Гц). Ширина спектра сигнала ЧТ составляет 2∆f+3F.
Рис.2.2.1.2. Временное и спектральное представление сигнала ЧТ
Для повышения пропускной способности радиолинии применяются многоканальные радиотелеграфные системы. В них на одной несущей частоте радиопередатчика, можно передавать одновременно две и более телеграфные программы. Различают системы с частотным уплотнением каналов, с временным разделением каналов и комбинированные системы.
Простейшей двухканальной системой является система двойного частотного телеграфирования (ДЧТ). Сигналы, манипулированные по частоте в системе ДЧТ передаются путем изменения несущей частоты передатчика вследствие одновременного воздействия на него сигналов двух телеграфных аппаратов. При этом используется то, что сигналы двух аппаратов, работающих одновременно, могут иметь лишь четыре сочетания передаваемых посылок. При таком способе в любой момент времени излучается сигнал одной частоты, соответствующий определенному сочетанию манипулированных напряжений. В приемном устройстве имеется дешифратор, с помощью которого формируются телеграфные посылки постоянного напряжения по двум каналам. Уплотнение по частоте заключается в том, что частоты отдельных каналов размещаются на различных участках общего диапазона частот и все каналы передаются одновременно.
При временном разделении каналов радиолиния предоставляется каждому телеграфному аппарату последовательно с помощью распределителей (рис.2.2.1.3).
Рис.2.2.1.3. Многоканальная система с временным разделением каналов
Для передачи радиотелефонных сообщений применяются в основном амплитудно-модулированные и частотно-модулированные высокочастотные сигналы. Модулирующий НЧ сигнал представляет собой совокупность большого количества сигналов разных частот, расположенных в некоторой полосе. Ширина спектра стандартного НЧ телефонного сигнала, как правило, занимает полосу 0,3–3,4 кГц.
PAGE 24
РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
СЕРВИСА И ТУРИЗМА
________________________________________________________________
Кафедра Радиоэлектроника
Лазаренко С.В.
ЛЕКЦИЯ № 1
по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”
Ростов-на-Дону
2010
ЛЕКЦИЯ 1
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ
По дисциплине РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Время: 2 часа
Изучаемые вопросы: 1. Предмет, цель и задачи курса
2. Краткий обзор курса, связь с другими дисциплинами
3. Краткая история развития дисциплины
4. Общая методика работы над курсом, виды занятий,
формы отчетности, учебная литература
5 Энергетические характеристики сигнала
6 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
7 Геометрические методы в теории сигналов
8 Теория ортогональных сигналов. Обобщенный ряд Фурье
В данной лекции реализуются следующие элементы квалификационной характеристики:
Студент должен знать основные законы, принципы и методы анализа электрических цепей, а также методы моделирования электрических цепей, схем и устройств.
Студент должен владеть приемами выполнения расчетов цепей в установившемся и переходном режимах.
1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА
Предметом изучения дисциплины РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ являются электромагнитные процессы в линейных и нелинейных радиотехнических цепях, методы расчета цепей в установившемся и переходном режимах, непрерывные и дискретные сигналы и их характеристики.
От практики дисциплина берет объекты исследования - типовые цепи и сигналы, от физики - ее законы электромагнитного поля, от математики - аппарат исследования.
Целью изучения дисциплины является привитие студентам навыка расчета простейших радиотехнических цепей и ознакомление их с современными алгоритмами оптимальной обработки сигналов.
В результате изучения дисциплины каждый студент должен
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:
О современных алгоритмах оптимальной обработки сигналов;
О тенденциях развития теории радиотехнических цепей и сигналов,
ЗНАТЬ:
Классификацию радиотехнических сигналов;
Временные и спектральные характеристики детерминированных сигналов;
Случайные сигналы, их характеристики, корреляционный и спектральный анализ случайных сигналов;
Дискретные сигналы и их характеристики;
Алгоритмы цифровой обработки сигналов,
УМЕТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ:
Методы аналитического и численного решения задач прохождения сигналов через линейные и нелинейные цепи;
Методы спектрального и корреляционного анализа детерминированных и случайных сигналов,
ВЛАДЕТЬ:
Приемами измерения основных параметров и характеристик радиотехнических цепей и сигналов;
Приемами анализа прохождения сигналов через цепи,
ИМЕТЬ ОПЫТ:
Исследования прохождения детерминированных сигналов через линейные стационарные цепи, нелинейные и параметрические цепи;
Расчета простейших радиотехнических цепей.
Эксплуатационная направленность подготовки по дисциплине обеспечивается проведением лабораторного практикума, в ходе которого каждому студенту прививаются практические навыки:
Работы с электро- и радиоизмерительными приборами;
Проведения экспресс-анализа нештатных ситуаций в работе фрагментов радиотехнических цепей по результатам измерений.
2 КРАТКИЙ ОБЗОР КУРСА, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ
Дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" базируется на знан и ях "Математики", "Физики", "Информатики", и обеспечивает усвоение ст у дентами общенаучных и специальных дисциплин, "Метрология и радиоизм е рения", "Устройства генерирования и формирования радиосигналов", "Устройства приема и обработки сигналов", "Основы телевидения и виде о техники", "Статистическая теория радиотехнических систем", "Радиотехн и ческие системы", курсовое и дипломное прое к тирование.
Изучение дисциплины "Радиотехнические цепи и сигналы" развивает у студентов инженерное мышление, готовит их к освоению специальных дисциплин.
Преподавание дисциплины направлено:
На глубокое изучение студентами основных законов, принципов и методов анализа электрических цепей, физической сущности электромагнитных процессов в устройствах радиоэлектроники;
На привитие твердых навыков по анализу установившихся и переходных процессов в цепях, а также по проведению экспериментов с целью определения характеристик и параметров электрических цепей.
Дисциплина состоит из 5 разделов:
1 Сигналы;
2 Прохождение сигналов через линейные цепи;
3 Нелинейные и параметрические цепи;
4 Цепи с обратными связями и автоколебательные цепи
5 Принципы цифровой фильтрации сигналов
3. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Возникновение теории электрических и радиотехнических цепей неразрывно связано с практикой: со становлением электротехники, радиотехники и радиоэлектроники. В развитие указанных областей и их теории внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые.
Явления электричества и магнетизма были известны человеку давно. Однако лить во второй половине ХУШ века они начали изучаться серьезно, с них стали срываться ореолы таинственности и сверхъестественности.
Уже Михаил Васильевич Ломоносов (1711 - 1765) предполагал, что в природе существует одно электричество и что электрические и магнитные явления органически связаны между собой. Большой вклад в науку об электричестве внес русский академик Франс Эпинус (1724 - 1802).
Бурное развитие учения об электромагнитных явлениях произошло в XIX веке, вызванное интенсивным развитием машинного производства. В это время человечество изобретает для своих практических нужд ТЕЛЕГРАФ, ТЕЛЕФОН, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ОСВЕЩЕНИЕ, СВАРКУ МЕТАЛЛОВ, ЗЛЕКТРОМАШИННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ и ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ.
Укажем в хронологической последовательности наиболее яркие этапы развития учения об электромагнетизме.
В 1785 году французский физик Кулон Шарль Ответ (1736 - 1806) установил закон механического взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона) .
В 1819 году датчанин Эрстед Ханс Кристиан (1777 - 1851) обнаружил действие электрического тока на магнитную стрелку, а в 1820 году французский физик Ампер Андре Мари (1775 - 1836) установил количественную меру (силу), действующую со стороны магнитного поля на участок проводника (закон Ампера) .
В 1827 году немецкий физик Ом Георг Симон (1787 - 1854) получил экспериментально связь между тоном и напряжением для участка металлического проводника (закон Ома).
В 1831 году английский физик Фарадей Майкл (1791 - 1867) установил закон электромагнитной индукции, а в 1832 году русский физик Ленц Эмилий Христианович (1804 - 1865) сформулировал принцип общности и обратимости электрических и магнитных явлений.
В 1873 году на основании обобщения экспериментальных данных по электричеству и магнетизму английский ученый Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу существования электромагнитных волн и разработал теорию для их описания.
В 1888 году немецкий физик Герц Генрих Рудольф (1857 - 1894) экспериментально доказал существование излучения электромагнитных волн.
Практическое использование радиоволн впервые осуществил русский ученый Александр Степанович Попов (1859 - 1905), который 7 мая 1895 года продемонстрировал на заседании Русского физико - химического общества передатчик (искровой прибор) и приемник электромагнитных волн (грозоотметчик) .
В конце XIX века в России работали известные инженеры и ученые Лодыгин Александр Николаевич (1847 - 1923), создавший первую в мире лампу накаливания (1873); Яблочков Павел Николаевич (1847 - 1894), разработавший электросвечу (1876); Доливо-Добровольский Михаил Осипович (1861 - 1919), создавший трехфазную систему токов (1889) и основавший современную энергетику.
В XIX веке анализ электрических цепей составлял одну из задач электротехники. Электрические цепи изучались и рассчитывались по чисто физическим законам, описывающим их поведение под действием электрических зарядов, напряжений и токов. Эти физические законы легли в основу теории электрических и радиотехнических цепей.
В 1893 - 1894 годах трудами Ч.Штейнметца и А.Кеннелли был развит так называемый символический метод, который сначала был применен для механических колебаний в физике, а затем перенесен в электротехнику, где комплексные величины стали использоваться для обобщенного представления амплитудно-фазовой картины установившегося синусоидального колебания.
На основе работ Герца (1888), а затем Пупина (1892) по резонансу и настройке RLC-контуров и связанных колебательных систем возникли проблемы определения передаточных характеристик цепей.
В 1889 году А.Кеннелли разработал формально - математический метод эквивалентного преобразования электрических цепей.
Во второй половине XIX века Максвелл и Гельмгольц разработали методы контурных токов и узловых напряжений (потенциалов), которые легли в основу матричных и топологических методов анализа более позднего времени. Весьма важным было определение Гельмгольцем принципа СУПЕРПОЗИЦИИ, т.е. отдельного рассмотрения нескольких простых процессов в одной и той же цепи с последующим алгебраическим суммированием этих процессов в более сложное электрическое явление в той же цепи. Метод суперпозиции позволил теоретически решать большой круг задач, которые до этого считались неразрешимыми и поддавались только эмпирическому рассмотрению.
Следующим существенным шагом в становлении теории электрических и радиотехнических цепей было введение в 1899 году понятия комплексного сопротивления электрической цепи переменному току.
Важным этапом формирования теории электрических и радиотехнических цепей было исследование частотных характеристик цепей. Первые идеи в этом направлении также связаны с именем Гельмгольца, который использовал для анализа принцип суперпозиции и метод гармонического анализа, т.е. применил разложение функции в ряд Фурье.
В конце XIX века были введены понятия Т- и П- образных цепей (их стали называть четырехполюсниками) . Почти одновременно с этим возникло понятие электрических фильтров.
Фундамент современной теории радиотехнических цепей и радиотехники вообще заложили наши соотечественники М.Б.Шулейкин, Б.А.Веденский, А.И.Берг, А.Л.Минц, В.А.Котельников, А.Н.Мандельштамм, Н.Д.Папалекси и многие другие.
4 ОБЩАЯ МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД КУРСОМ, ВИДЫ ЗАНЯТИЙ, ФОРМЫ ОТЧЕТНОСТИ, УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Изучение дисциплины осуществляется на лекциях, лабораторных и практических занятиях.
Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и с о ставляют основу теоретического обучения. Они дают систематизированные основы научных знаний по дисциплине, концентрируют внимание обуча е мых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулируют их активную познавательную деятельность, формируют творческое мышление.
На лекциях наряду с фундаментальностью обеспечивается необход и мая степень практической направленности обучения. Изложение материала увязывается с войсковой практикой, конкретными объектами специальной техники, в которых находят применение электрические цепи.
Лабораторные занятия имеют целью обучить студентов методам эк с периментальных и научных исследований, привить навыки научного анализа и обобщения полученных результатов, навыки работы с лабораторным об о рудованием, контрольно-измерительными приборами и вычислительной те х никой.
При подготовке к лабораторным занятиям студенты самостоятельно или (при необходимости) на целевых консультациях изучают соответству ю щий теоретический материал, общий порядок проведения исследований, оформляют бланки отчетов (вычерчивают схему лабораторной установки, необходимые таблицы).
Эксперимент является основной частью лабораторной работы и реал и зуется каждым студентом самостоятельно в соответствии с руководством к лабораторной работе. Перед проведением эксперимента проводится ко н трольный опрос в форме летучки, цель которого - проверка качества подг о товки студентов к лабораторной работе. При этом необходимо обращать внимание на знание теоретического материала, порядка выполнения работы, характер ожидаемых результатов. При приеме отчетов следует учитывать а к куратность оформления, соблюдение студентами требований ЕСКД, нал и чие и правильность необходимых выводов.
Практические занятия проводятся с целью выработки навыков в реш е нии задач, производстве расчетов. Главным их содержанием является пра к тическая работа каждого студента. На практические занятия выносятся зад а чи, имеющие прикладной характер. Повышение уровня компьютерной по д готовки осуществляется на практических занятиях путем выполнения расч е тов с помощью программируемых микрокалькуляторов или персональных ЭВМ. В начале каждого занятия проводится контрольный опрос, цель кот о рого - проверка подготовленности студентов к занятию, а также - активиз а ция их познавательной деятельности.
В процессе усвоения содержания дисциплины у студентов системат и чески формируются методические навыки и навыки самостоятельной работы. Студентам прививаются умения правильно задать вопрос, поставить пр о стейшую задачу, доложить сущность проделанной работы, пользоваться до с кой и наглядными пособиями.
Для привития первичных навыков подготовки и проведения учебных занятий предусматривается привлечение студентов в качестве помощников руководителя лабораторных занятий.
К числу важнейших направлений активизации познавательной де я тельности студентов относится проблемное обучение. Для его реализации с о здаются проблемные ситуации по курсу в целом, по отдельным темам и в о просам, которые реализуются:
С помощью введения новых проблемных понятий с показом того, как исторически они появились и как они применяются;
Путем столкновения студента с противоречиями между новыми явл е ниями и старыми понятиями;
С необходимостью выбора нужной информации;
Использованием противоречий между имеющимися знаниями по р е зультатам решения и требованиями практики;
Предъявлением фактов и явлений, необъяснимых на первый взгляд с
помощью известных законов;
Путем выявления межпредметных связей и связей между явлениями.
В процессе изучении дисциплины предусмотрен контроль усвоения материала на всех практических видах занятий в форме летучек, а по темам 1 и 2 форме двухчасовой контрольной работы.
Для определения качества обучения в целом по дисциплине проводи т ся экзамен. К экзамену допускаются студенты, выполнившие все требования учебной программы, отчитавшиеся о всех лабораторных работах, получи в шие положительные оценки по курсовой работе. Экзамены проводятся в ус т ной форме с необходимыми письменными пояснениями на классной доске (формулы, графики и т.п.). На подготовку каждому студенту предоставляется время не более 30 минут. Для подготовки к ответу студенты могут использ о вать разрешенные начальником кафедры методические и справочные мат е риалы. Подготовка к ответу может осуществляться письменно. Начальник кафедры может освобождать от сдачи экзамена студентов, показавших о т личные знания по результатам текущего контроля, с выставлением им оце н ки "отлично".
Таким образом, дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" явл я ется системой концентрированных и в то же время достаточно полных и з а вершенных знаний, позволяющих радиоинженеру свободно ориентироваться в важнейших вопросах эксплуатации специальных радиотехнических устройств и систем.
ОСНОВНАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е издание. М.: Высшая школа, 2000 .
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов. - 2-е издание. М.: Высшая шк о ла, 2002.
3. ПОПОВ В.П. Основы теории цепей. Учеб. для вузов.-3-е изд. М.: Высшая шк о ла, 2000 .
5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА
Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала являются:
1) мгновенная мощность, определяемая как квадрат мгновенного значения сигнала
Если напряжение или ток, то мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении и 1 Ом.
Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей:
2) энергия на интервале времени выражается как интеграл от мгновенной мощности
3) средняя мощность на интервале определяется значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к единице времени
где.
Если сигнал задан на бесконечном интервале времени, то средняя мощность определяется следующим образом:
Системы передачи информации проектируются так, чтобы информация передавалась с искажениями меньше заданных при минимальной энергии и мощности сигналов.
Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном интервале времени, могут быть аддитивными, если сигналы на этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два сигнала и, которые заданы на интервале времени . Энергия и мощность суммы этих сигналов выражаются так:
, (1)
. (2)
Здесь, и, энергия и мощность первого и второго сигналов, взаимная энергия и взаимная мощность этих сигналов (или энергия и мощность их взаимодействия) . Если выполняются условия
то сигналы и на интервале времени называют ортогональными, и выражения (1) и (2) принимают вид
Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с интервалом их определения.
Применительно к комплексным сигналам также пользуются понятиями мгновенной мощности, энергии и средней мощности. Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики комплексного сигнала были действительными величинами.
1. Мгновенная мощность определяется произведением комплексного сигнала на комплексно-сопряженный сигнал
2. Энергия сигнала на интервале времени по определению равна
3. Мощность сигнала на интервале определяется как
Два комплексных сигнала и, заданные на интервале времени, являются ортогональными, если их взаимная мощность (или энергия) равна нулю.
6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Одной из важнейших временных характеристик сигнала является автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени копией.
Для вещественного сигнала, заданного на интервале времени и ограниченного по энергии, корреляционная функция определяется следующим выражением:
, (3)
где - величина временного сдвига сигнала.
Для каждого значения автокорреляционная функция выражается некоторой числовой величиной.
Из (3) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига. Действительно, заменяя в (3) переменную на, получим
При сходство сигнала с его несдвинутой копией наибольшее и функция достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала
С увеличением функция всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов и на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.
Автокорреляционная функция периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом.
Для оценки степени подобия двух сигналов и используется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражением
Здесь и сигналы, заданные на бесконечном интервале времени и обладающие конечной энергией.
Значение не меняется, если вместо задержки сигнала рассматривать опережение первого сигнала.
Автокорреляционная функция является частным случаем ВКФ, когда сигналы и одинаковы.
В отличие от функция в общем случае не является четной относительно и может достигать максимума три любом.
Значение определяет взаимную энергию сигналов и
7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга?
В XX в. был создан функциональный анализ раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что идеи функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.
Линейное пространство сигналов. Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества.
Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.
Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:
1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.
2. Для любых и существует их сумма, причем также содержится в. Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна: .
3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определен сигнал =.
4. Множество М содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех.
Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.
Введение структуры линейного пространства, является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.
Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.
Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.
Говорят, что совокупность векторов { }, принадлежащих, является линейно независимой, если равенство
возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов.
Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала в виде
то числа {} являются проекциями сигнала относительно выбранного базиса.
В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.
Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше.
Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:
1. Норма неотрицательна, т. е. . Норма тогда и только тогда, если .
2. Для любого числа справедливо равенство.
3. Если и два вектора из , то выполняется неравенство треугольника: .
Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму
(4)
(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма
где * символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала
Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение.
Определять норму сигнала с помощью формулы (4) целесообразно по следующим причинам:
1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.
2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.
Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается.
8 ТЕОРИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ
Введя во множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.
Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и, то квадрат модуля их суммы
где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.
Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и:
. (5)
В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию
. (6)
Сравнивая между собой формулы (5) и (6), определим скалярное произведение вещественных сигналов и:
Скалярное произведение обладает свойствами:
- , где - вещественное число;
Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством.
Справедливо фундаментальное неравенство Коши Буняковского
Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле
такое, что.
Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала и называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:
Пусть гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени, конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:
Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.
Разложим произвольный сигнал в ряд:
(7)
Представление (7) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.
Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию с произвольным номером, умножим на нее обе части равенства (7) и затем проинтегрируем результаты по времени:
. (8)
Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (8) останется только член суммы с номером, поэтому
Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье.
Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал, разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:
и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:
(9)
Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (9) отличными от нуля окажутся только члены с номерами. Отсюда получается замечательный результат:
Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.
Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника С. Лазаренко