Какое решение системы ограничений является планом. Допустимое и оптимальное решения. Каноническая форма задачи линейного программирования

Основой для решения экономических задач являются математические модели.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Составление математической модели включает:

• выбор переменных задачи
• составление системы ограничений
• выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х1, Х2, Хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

В общем случае задача линейного программирования может быть записана в таком виде:

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции (1) и соответствующие ему переменные X=(X 1 , X 2 ,...,X n) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X=(X 1 , X 2 ,...,X n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Пример составления математической модели

Задача использования ресурсов (сырья)

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

• b i (i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
• c j (j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение:

Введем вектор переменных X=(X 1 , X 2 ,...,X n), где x j (j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного объема x j продукции равны a ij x j , поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна c j x j , поэтому целевая функция равна:

Ответ - Математическая модель имеет вид:

Каноническая форма задачи линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися.

В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.

Она может быть представлена в координатной, векторной и матричной записи.

Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид:

Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид:

• А — матрица коэффициентов системы уравнений
• Х — матрица-столбец переменных задачи
• Ао — матрица-столбец правых частей системы ограничений

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые в матричной записи имеют вид:

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении моделей экономических задач ограничения в основном формируются в виде системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений.

Это может быть сделано следующим образом:

Возьмем линейное неравенство a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b и прибавим к его левой части некоторую величину x n+1 , такую, что неравенство превратилось в равенство a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n +x n+1 =b. При этом данная величина x n+1 является неотрицательной.

Рассмотрим все на примере.

Пример 26.1

Привести к каноническому виду задачу линейного программирования:

Решение:
Перейдем к задаче на отыскивание максимума целевой функции.
Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции.
Для превращения второго и третьего неравенств системы ограничений в уравнения введем неотрицательные дополнительные переменные x 4 x 5 (на математической модели эта операция отмечена буквой Д).
Переменная х 4 вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид "≤".
Переменная x 5 вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид "≥".
В целевую функцию переменные x 4 x 5 вводятся с коэффициентом. равным нулю.
Записываем задачу в каноническом виде.

Выпуклые множества и их свойства. Для того, чтобы изучить свойства ЗЛП, необходимо дать строгое определение выпуклого множества. Ранее выпуклое множество определялось как множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит отрезок, их соединяющий.

Обобщением понятия отрезка для нескольких точек является их выпуклая линейная комбинация.

Точка Х называетсявыпуклой линейной комбинацией точек , если выполняются условия

Множество точек являетсявыпуклым, если оно вместе с лю­быми своими двумя точками содержит их произвольную выпуклую, линейную комбинацию.

Можно доказать следующую теорему о представлении выпуклого многогран­ника.

Теорема 1.1. Выпуклый п-мерный многогранник является выпук­лой линейной комбинацией своих угловых точек.

Из теоремы 1.1 следует, что выпуклый многогранник порождается своими угловыми точками или вершинами: отрезок – двумя точками, треугольник – тремя, тетраэдр – четырьмя точками и т.д. В то же время выпуклая многогранная область, являясь неограниченным множеством, не определяется однозначно своими угловыми точками: любую ее точку нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек.

Свойства задачи линейного программирования. Ранее были рассмотрены различные формы задачи линей­ного программирования и показано, что любая задача линейного программирования может быть представлена в виде общей или канонической задачи.

Для обоснования свойств задачи линейного программирования и методов ее решения целесообразно рассмотреть еще два вида записи канонической задачи.

Матричная форма записи:

Здесь С – матрица-строка, А – матрица системы, Х – матри­ца-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов:

Векторная форма записи:

где векторы соответствуют столбцам коэффициентов при неизвестных.

Выше была сформулирована, но не доказана в общем виде следующая теорема.

Теорема 1.2. Множество всех допустимых решений системы ог­раничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Доказательство: Пусть - два допустимых решения ЗЛП, заданной в матричной форме. Тогда и . Рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений , т.е.

и покажем, что она также является допустимым решением систе­мы (1.3). В самом деле

т.e. решение X удовлетворяет системе (1.3). Но так как , то и Х >0, т.е. решение удовлетворяет условию неотрицательности.

Итак, доказано, что множество всех допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым, а точнее, представляет выпуклый многогранник или выпуклую многогранную область, которые в дальнейшем будем называть одним термином – многогранником решений.

Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений воз­можно оптимальное решение задачи линейного программирова­ния, дается в следующей фундаментальной теореме.

Теорема 1.3. Если задача линейного программирования имеет оп­тимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если ли­нейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Доказательство: Будем полагать, что многогранник решений является огра­ниченным. Обозначим его угловые точки через , а оптимальное решение - через X* . Тогда F(X*) ³ F(X) для всех то­чек Х многогранника реше­ний. Если X* – угловая точка, то первая часть тео­ремы доказана.

Предположим, что X* не является угловой точкой, тогда на основании теоре­мы 1.1 X* можно предста­вить как выпуклую линей­ную комбинацию угловых точек многогранника ре­шений, т.е.

Так как F(X) – линейная функция, получаем

В этом разложении среди значений выбе­рем максимальное. Пусть оно соответствует угловой точке X k (1 £ k £ р) ; обозначим его через М, т.е. . Заменим в выражении (1.5) каждое значение этим максимальным значением М. Тогда

По предположению Х * – оптимальное решение, поэтому, с одной стороны, ,но, с другой стороны, доказано, что
F(X*) £ М, следовательно, , где X k – угловая точка. Итак, существует угловая точка X k , в которой линейная функция принимает максимальное значение.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что целевая функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, например, в точках , где , тогда

Пусть Х – выпуклая линейная комбинация этих угловых точек, т.е.

В этом случае, учитывая, что функция F(X) – линейная, полу­чим

т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной точкеХ , являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек.

Замечание. Требование ограниченности многогранника решений в теореме является существенным, так как в случае неограниченной многогранной области, как отмечалось в теореме 1.1, не каждую точку такой области можно представить выпуклой линейной комбинацией ее угловых точек.

Доказанная теорема является фундаментальной, так как она указывает принципиальный путь решения задач линейного про­граммирования. Действительно, согласно этой теореме вместо исследования бесконечного множества допустимых решений для нахождения среди них искомого оптимального решения необхо­димо исследовать лишь конечное число угловых точек много­гранника решений.

Следующая теорема посвящена аналитическому методу нахождения угловых точек.

Теорема 1.4. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Доказательство: Пусть – допустимое базисное решение системы ограничений ЗЛП (1.4), в котором первые т компонент - основные переменные, а остальные п - т компо­нент – неосновные переменные, равные нулю в базисном реше­нии (если это не так, то соответствующие переменные можно перенумеровать). Покажем, что Х

Предположим противное, т.е. что Х не является угловой точ­кой. Тогда точку Х можно представить внутренней точкой отрез­ка, соединяющего две различные, не совпадающие с X, точки

другими словами, – выпуклой линейной комбинацией точек многогранника решений, т.е.

где (полагаем, что , ибо в противном случае точка Х совпадает с точкой Х 1 или Х 2).

Запишем векторное равенство (1.6) в координатной форме:

Т.к. все переменные и коэффициенты неотрицательны, то из последних п-т равенств следует, что , т.е. в решениях Х 1 , Х 2 и Х системы уравнений (1.4) значения п - т компонент равны в данном случае нулю. Эти компоненты можно считать значениями неосновных переменных. Но значения неосновных переменных однозначно определяют значения основных, следовательно,

Таким образом, все п компонент в решениях Х 1 , Х 2 и Х совпада­ют, и значит, точки Х 1 и Х 2 сливаются, что противоречит допуще­нию. Следовательно, X – угловая точка многогранника решений.

Докажем обратное утверждение. Пусть – угловая точка многогранника решений и первые ее т координат положительны. Покажем, что Х – допустимое базис­ное решение. не является угловой точкой, что противоречит условию. Следовательно, наше допуще­ние неверно, т.е. векторы линейно независимы и Х – допустимое базисное решение задачи (1.4).

Из теорем 1.3 и 1.4 непосредственно вытекает важное следст­вие: если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допусти­мых базисных решений.

Итак, оптимум линейной функции задачи линейного программиро­вания следует искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.

В настоящие дни в образовательную программу специальностей, связанных с экономикой, финансами и менеджментом, входит дисциплина с названием «Методы оптимальных решений». В рамках данной дисциплины студенты изучают математическую сторону оптимизации, исследования операций, принятия решений и моделирования. Главная особенность данной дисциплины определяется совместным изучением математических методов с их приложением к решению экономических задач.

Задачи на оптимизацию: общие сведения

Если рассматривать общий случай, то смысл задачи на оптимизацию заключается в нахождении так называемого оптимального решения, которое максимизирует (минимизирует) целевую функцию при некоторых условиях-ограничениях.

В зависимости от свойств функций задачи на оптимизацию можно разделить на два вида:

• задача линейного программирования (все функции линейны);
• задача нелинейного программирования (хотя бы одна из функций не является линейной).

Частными случаями задач на оптимизацию являются задачи дробно-линейного, динамического и стохастического программирования.

Наиболее изученными задачами на оптимизацию являются задачи линейного программирования (ЗЛП), решения которых принимают только целочисленные значения.

ЗЛП: формулировка, классификация

Задача линейного программирования в общем случае состоит в нахождении минимума (максимума) линейной функции при некоторых линейных ограничениях.

Общей ЗЛП называют задачу вида

при ограничениях

где — переменные, — заданные действительные числа, — целевая функция, — план задачи, (*)-(***) — ограничения.

Важной особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.

Практическое экономическое приложение методы оптимальных решений находят при решении задач следующих видов:

• задачи о смесях (т.е. планирование состава продукции);
• задачи оптимального распределения ресурсов в производственном планировании;

ЗЛП: примеры

Задача о смесях

Решение задачи о смесях состоит в отыскании наиболее дешевого набора, состоящего из определенных исходных материалов, которые обеспечивают получение смеси с заданными свойствами.

Задача о распределении ресурсов

Предприятие осуществляет выпуск n различных изделий, для производства которых требуется m различных видов ресурсов. Запасы используемых ресурсов ограничены и составляют соответственно b 1 , b 2 ,…, b m у.е. Кроме того, известны технологические коэффициенты a ij , которые показывают какое количество единиц i -го ресурса необходимо для производства одной единицы изделия j -го вида (). Прибыль, которую получает предприятие при реализации изделия j -го вида, составляет c j ден.ед. Необходимо составить план выпуска продукции, прибыль предприятия при реализации которого будет наибольшей.

Условия задач о смесях и распределении ресурсов часто записываются в виде таблиц.

Ресурсы	Потребности			Запасы
	B 1	…	B n
A 1				b 1
…				…
A m				b m
Прибыль	c 1	…	c n

Задачи о смесях и распределении ресурсов можно решить несколькими способами:

• графический метод (в случае малого числа переменных в математической модели);
• симплекс-метод (в случае числа переменных в математической модели больше двух).

К транспортной задаче относится класс задач, которые имеют определенную специфическую структуру. Простейшей транспортной задачей является задача о перевозках продукта в пункты назначения из пунктов отправления при минимальных затратах на перевозку всех продуктов.

Для наглядности и удобства восприятия условие транспортной задачи принято записывать в таблицу следующего вида:

В общем случае решение транспортной задачи выполняется в несколько этапов:

• I этап: построение первоначального опорного плана;
• II этап: проверка опорного плана на оптимальность;
• III этап: уточнение опорного плана, если он не является оптимальным.

Существует несколько методов получения первоначального опорного плана, например, метод северо-западного угла, метод Фогеля, метод минимальных стоимостей.

Проверка плана на оптимальность выполняется с применением метода потенциалов:

— для занятых клеток,
— для незанятых клеток.

Если план не является оптимальным, то выполняется построение цикла и перераспределение перевозок.

Заключение

В рамках одной статьи нет возможности охватить всю теорию и практику методов оптимальных решений, поэтому рассмотрены только некоторые моменты, позволяющие дать общее представление о данной дисциплине, задачах и методах их решения.

Кроме того, неплохо отметить, что для проверки полученных решений задач оптимизации можно очень эффективно применять надстройку «Поиск решения» пакета MS Excel. Но это уже другая история, собственно, как и подробное рассмотрение методов решения задач на оптимизацию.

Приведем несколько учебников для изучения методов оптимального решения:

1. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 407 с.

Решение методов оптимизации на заказ

Мы можем помочь вам с решением любых задач по методам оптимальных решений. Заказать решение задач можно у нас на сайте. Достаточно лишь указать срок и прикрепить файл с заданием. вашего заказа можно бесплатно.

Определение . Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП.
Определение . Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с 1 x + с 2 y .
Заметим, что переменные x , y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x ≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с 1 x + с 2 y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F . Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с 1 x + с 2 y = 0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).
Рисунок
При изменении этого фиксированного значения F = d , прямая с 1 x + с 2 y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с 1 x + с 2 y = d , при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D , назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d = d 2 будем иметь с ним последнюю общую точку В , назовем В «точкой выхода».
Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F =с 1 x + с 2 y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В .
Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D , можно предложить следующий план решения ЗЛП:

1. построить область решений системы ограничений;
2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.

Заметим, что вектор (с 1 , с 2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.

Случай 1
Рисунок 6
При перемещении прямой с 1 x + с 2 y = d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с 1 х + с 2 у = d .
В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ . Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D .

Случай 2
Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.
В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.
Рисунок
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x = 0 – ось OY ;
y = 0 – ось OX ;
x OY ;
y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y x + y = 12;
x + y x + y = 18.
Рисунок
Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД , с вершинами в точках О (0; 0), А (0; 9), В (6; 9), С (12; 6), Д (12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

F = 4x + 6y → max.

x	3	0
y	–2	0

F = 0: 4x + 6y x + 6y С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y
Значит, при x = 12, y = 6 функция F F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84 (оптимальное значение будем обозначать «*»).
Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных. Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.

Пример №2 . Шахта разрабатывает два пласта. Выход штыба по первому пласту составляет а1 %; по второму - а2 %. Максимальная производительность очистного забоя по первому пласту составляет В1 тыс.тонн в год, по второму пласту - В2 тыс.тонн в год. По технологии работ добыча со второго пласта не может превышать добычу с первого пласта. Выход штыба по шахте не должен превышать С1 тыс.тонн в год. Общая нагрузка по двум пластам за год должна быть не меньше С2 тыс.тонн в год. Составить математическую модель и построить множество допустимых значений нагрузки по первому и второму пластам за год.

Пример №3 . Магазин продает 2 вида безалкогольных напитков: Колу и лимонад. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, тогда как доход от одной банки лимонада 7 центов. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков. Несмотря на то, что колу выпускает известная торговая марка, покупатели предпочитают лимонад, поскольку он значительно дешевле. Подсчитано, что объем продаж колы и лимонада должны соотноситься не менее 2:1 кроме того, известно что магазин продает не менее 100 банок колы в день. Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в начале рабочего дня для максимизации дохода?

Пример №4 . Решить задачу линейного программирования приближенно графическим способом с последующим вычислением точного значения и мах(min) значения целевой функции.

Пример №5 . Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки 40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной. Решить задачу графическим методом.

Пример №6 . Используя графический метод, найдите оптимальный производственный план в задаче, заданной таблицей.

Пример №7 . Решить графическим методом задачу линейного программирования, подвергнув систему ограничений задачи преобразованиям Жордано-Гаусса. Система ограничений задачи имеет вид:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = b 3
Методические рекомендации . Преобразования Жордано-Гаусса можно выполнить с помощью этого сервиса или через исследование СЛАУ .

Пример №8 . Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а1, а2, а3 кг соответственно, а для единицы изделия В - в1, в2, в3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве Р1, Р2, Р3 кг, соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет С1 руб., а единицы изделия В - С2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции.

Пример №2 . Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого выбираем количество ограничений равное 4 (рисунок 1).
Рисунок 1

Затем заполняем коэффициенты при переменных и сами ограничения (рисунок 2).
Рисунок 2

Рисунок 3
x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x > = 0 – ось OY
y = 0 – ось OX ;
x ≥ 0 – полуплоскость правее оси OY ;
y ≥0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y ≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12;
x + y ≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x + y = 18.

Пересечением всех этих полуплоскостей является пятиугольник ABCDE , с вершинами в точках A (0; 0), B (0;9), C (6; 9), D (12;6), E (12;0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x + 6y → max.

x	3	0
y	–2	0

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y достигнет своего максимального значения.

Значит, при x = 12, y = 6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12;6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84.

Трудно найти иголку в

стоге сена, но еще труднее

найти конкретную соломинку

в этом стоге.

Аж-Гриндер

Хорошие указания приносят

не меньшую пользу,

чем хорошие примеры.

Сенека

Решение - задачи принятия решений - управленческое решение - факторы процесса принятия решений - допустимое решение - оптимальное решение - структурированные проблемы - слабо структурированные проблемы - неструктурирован- ■ ные проблемы - «новая» парадигма - операционально замкнутая система - собственное поведение системы - регулярное управление - управление изменениями - самоорганизация - экологич-ность управления

Проблемы, связанные с отысканием способов достижения поставленных целей с учетом имеющихся возможностей, т.е. проблемы принятия решений, пронизывают всю человеческую практику (и общественную, и личную) и поэтому отличаются большим разнообразием. Исходя из этого, рассмотрим некоторые общие теоретические вопросы, которые могут быть взяты в качестве современной методологической основы не только для принятия государственных управленческих решений. Они также оказываются полезными при принятии управленческих решений в различных сферах бизнеса, в так называемом третьем секторе, представляющем собой все общественные организации, в каждой отдельно взятой организации как со сложной структурой (транснациональные корпорации, холдинги, финансово-промышленные группы и другие объединения), так и с традиционными структурами (функциональной, линейно-функциональной и т.п.).

В специальной литературе можно встретить различные трактовки термина «решение». Решение понимается и как результат выбора, и как процесс, и как акт выбора. Эти трактовки самого понятия «решение» не противоречат, а только дополняют друг друга, расставляя по-разному акценты в зависимости от контекста исследований и конкретной управленческой деятельности. Так, рассматривая решение как процесс, протекающий во времени, можно говорить о его этапах. Решение как результат выбора - это уже предписание к действию, а как акт выбора - творческая составляющая управленческой деятельности, которая рассматривает решение неотделимо от такого понятия, как «властная воля». Таким образом, под решением понимаются одновременно и процесс, и результат, и акт выбора цели и способ ее достижения.

В зависимости от основания классификации выделяют следующие задачи принятия решений:

Структурированные, слабо структурированные и неструктурированные;

Уникальные и повторяющиеся;

Статические и динамические;

В условиях определенности и в условиях неопределенности (в частности, при риске, при противодействии);

С фиксированным набором альтернатив (вариантов решений, стратегий) и с формируемым в процессе принятия решений;

С одним критерием (целевой функцией, показателем качества или эффективности) и со многими (несколькими) критериями;

а также рассматривают:

Задачи выбора одной наилучшей (оптимальной) альтернативы или же выделение нескольких лучших альтернатив, ранжирование (разбивку на упорядоченные классы) всех или только выделяемых лучших альтернатив;

Индивидуальные и коллективные решения;

Волевые, интеллектуальные и эмоциональные решения;

Технические, технологические и т.п.;

Оперативные, тактические и стратегические;

Рутинные и уникальные;

Интуитивные и рациональные;

Сложные и простые, и т.д.

Процессы принятия управленческих решений занимают в управленческой деятельности центральное место. Заметим, что не всякое решение является управленческим, а только такое, которое, во-первых, является результатом выбора между несколькими альтернативами, в большинстве случаев приблизительно равноценными с точки зрения принимающего решение, а во-вторых, когда результат выбора как социальное явление влияет на других людей и воспринимается ими в качестве обязательного к исполнению. Если не выполняется первое условие, то принимаемое решение или продиктовано другими людьми, или обстоятельствами, не зависящими от лица, принимающего решение. В этом случае имеем дело с так называемым ритуальным

управлением. В случае невыполнения второго условия имеет место управленческая утопия, а нереальное управление.

Процесс принятия решения как неотъемлемая составляющая каждой из функций управления предполагает наличие следующих факторов:

1. Лицо, принимающее решение (ЛПР) - человек или группа людей, наделенных необходимыми полномочиями для принятия решения и несущих за него ответственность.

2. Управляемые переменные, охватываемые проблемой ситуации, т.е. совокупность факторов и условий, вызывающих появление той или иной проблемы, которыми может управлять ЛПР.

3. Неуправляемые переменные - охватываемые проблемой ситуации, которыми не может управлять ЛПР, но которыми могут управлять другие лица. В совокупности с управляемыми переменными неуправляемые переменные могут влиять на результат выбора, образуя фон проблемы или ее окружающую среду.

4. Ограничения (внутренние и внешние) на значения управляемых и неуправляемых переменных, которые в совокупности определяют область допустимых решений.

5. Критерий (или критерии) для оценки альтернативных вариантов решения. Критерий может быть задан количественной моделью или качественно (в терминах индивидуальных предпочтений или в терминах нечеткой логики).

6. Решающее правило (или система решающих правил) - принципы и методы выбора решения, в результате применения которых получают рекомендации или рекомендуемое решение (хотя окончательный выбор остается за ЛПР).

7. Альтернативы (возможные исходы), зависящие как от значений качественных или количественных управляемых и неуправляемых переменных, так и от самого выбора.

8. Решение, предполагающее существование по крайней мере двух альтернатив поведения (исходов); в противном случае проблемы принятия решения не возникает ввиду отсутствия выбора.

9. Возможности реализации выбранного или принятого решения. Функцию принятия решений можно рассматривать как задачу, которую

(хотя и с разным содержанием) постоянно приходится решать в процессе управленческой деятельности и которая имеет следующую постановку: определить наилучший способ действий для достижения поставленных целей. Здесь под целью понимаются как видение желаемого состояния управляемой системы, так и результат правильной (в определенном смысле) управленческой деятельности. При этом имеется проблема, если желаемое состояние системы не соответствует фактическому. Проблема на своем фоне (совокупность проблемы и ситуации) представляет собой проблемную ситуацию. Для разрешения проблемной ситуации ЛПР стремится выбрать «самое хорошее», оптимальное в определенном смысле решение, надеясь, что оно сохранит это свойство и в перспективе. Если же решение принимается в условиях неопределенности (имеется избыток или недостаток информации, несколько критериев оценки альтернатив и т.п.), то имеет смысл говорить о решениях, оптимальных, по В. Парето (итальянский экономист), которые следует искать среди неулучшаемых альтернатив.

Решение задачи называют допустимым, если оно удовлетворяет огра-ничениям, связывающим как управляемые, так и неуправляемые переменные. Допустимое решение называют оптимальным, если оно обеспечивает желаемый экстремум критерия выбора.

Проблемы, для которых зависимости между переменными выявлены так, что могут быть представлены числами или формализованы таким образом, что также допускают в конце концов численные оценки, определяются как структурированные (или количественно сформулированные). Проблемы, содержащие лишь название важнейших характеристик, ресурсов и при-" знаков, количественные зависимости между которыми не определены, называют неструктурированными (качественно выраженными). Проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные и неопределенные аспекты проблемы имеют тенденцию усиливаться, называют слабо структурированными. Модель (описание) слабо-! структурированных проблем может быть построена только на основании дополнительной информации, получаемой от человека или группы лиц, участвующих в решении такой проблемы, для компонентов которой характерньи нечеткость, многовариантность и приближенный (хотя и с сохранением структуры) вид описания.

Если описание (или модель) проблемной ситуации содержит динамическую систему взаимозависимостей между большим количеством переменных: большой размерности с наличием нелинейных связей между ними, а также случайных факторов, то такая проблемная ситуация определяется как слож-, нал. Если же задача статическая, небольшой размерности, с отсутствием нелинейностей и случайных факторов, то такую задачу классифицируют как, простую задачу. Заметим, что термин «сложность» относится именно к описанию проблемной ситуации, а не к природе решаемой проблемы.

Хотя задачи принятия решений сопровождают человечество с момента его зарождения, систематическое их изучение началось лишь в XX в. В последние десятилетия было ясно осознано, что проблема принятия решений междисциплинарна и требует системного подхода. Поэтому в настоящее: время интенсивно разрабатываются тесно связанные между собой математическая, психологическая, организационная, информационная и другие теорий

принятия решений. Проблема принятия решений в управлении социальными процессами представляется настолько сложной, что наряду с использованием системного подхода требует для своего решения установления связей между идеями различных научных дисциплин, философских традиций, часто выходя за пределы науки в ее традиционном понимании и порождая элементы нового видения реальности. Следовательно, речь идет о проникновении «новой» парадигмы в управленческую теорию и практику.

Известно, что в первые десятилетия нашего века физические исследования, по словам физика, лауреата Нобелевской премии Ф. Капры, «привели в соприкосновение со странной и неожиданной реальностью, поколебавшей у физиков основания их мировоззрения и заставившей их мыслить совершенно по-новому. Мир, который они наблюдали, не представлялся более машиной, состоящей из множества отдельных объектов, он был неделимым целым: сетью отношений, которые необходимым образом включали наблюдателя. Стремясь постичь природу явлений, ученые не могли не обнаружить, что их основные понятия, язык, весь способ мышления не годятся для описания открывшейся реальности». В течение последних 30 лет стали говорить о парадигмах и об их смене даже вне науки. Например, так называемая новая (или «третья») парадигма считается, порожденной первой и второй парадигмами. Охарактеризуем очень кратко каждую из них.

В основе первой парадигмы мышления лежит проектирование внешнего мира человека на его внутренний мир которое иррационально, интуитивно, бессознательно. Особую роль играют умения, навыки, ритуалы. Это мифологический образ мышления. В основе второй парадигмы - рациональный подход с линейными причинно-следственными связями. Здесь появляются изобретательство, конструирование. Сформировано представление о Мире как о часовом механизме - механистическое представление мира. В процессах анализа и моделирования сложных систем появилось понятие обратной связи с акцентом на отрицательные обратные связи. В рамках второй парадигмы возникает техногенное производство («механическая жизнь»). Синтаксисом этой парадигмы является математический анализ. Моделирование процессов основывается на понятии «непрерывность», приводящем к так называемой дурной бесконечности и ряду логических парадоксов. Третья, или новая парадигма представляет собой коммуникацию первой и второй парадигм, где в основе лежит принцип равновесия между рациональным и иррациональным, сознательным и бессознательным, научным знанием и интуицией. В рамках третьей парадигмы осуществляется как бы возврат проекции внешнего мира на внутренний мир человека, а сама парадигма понимается как совокупность мыслей, восприятий и ценностей, которые создают определенное видение реальности, оказывающееся основой самоорганизации общества. В третьей парадигме используется синтаксис квантовой механики с собственными значениями и собственными функциями. Механистическая модель мира уступает место биологической с описанием сложных систем как живых. Таким образом, освоение новой («третьей») парадигмы является одной из возможностей формирования современной методологии деятельности, включающей принятие компетентных решений при интегрировании имеющегося опыта, интуиции с достижениями современной науки, накопленными за последние 40-50 лет.

При современном рациональном подходе рекомендации (или изменения типа «сверху - вниз»), казалось бы, оптимальные с рациональной точки зрения, если априори и не обречены на неудачу, то со временем превращаются в разбухшие, искаженные версии первоначальных планов, а отсутствие ясности преобразует бюрократические организации в механизмы для ухода от ответственности. Инструментами новой управленческой парадигмы могут служить «мягкие» аналитические методы, а также «мягкие» технологии принятия решений и «мягкие» управленческие технологии.

Системы управления организацией могут быть описаны по-разному. Описание системы как хорошо отлаженного механизма достаточно эффективно, но имеет ряд недостатков. При этом функционирование организации ориентировано на достижение конечной цели, а сам процесс достижения рассматривается как инструмент или как одна из возможных альтернатив. При отсутствии ясно сформулированной цели такой подход к ее достижению представляется весьма затруднительным и туманным.

Социальная система является сложной системой. Эта сложность усиливается еще и тем, что субъект управления такой системой сам включен в управляемую систему, привнося тем самым в нее еще большую непредсказуемость, неопределенность своими субъективными, эмоциональными реакциями, своими описаниями-и представлениями о самой этой системе, также являющимися атрибутами управляемой системы. Другими словами, принципиальным для таких систем является наличие включенного в систему наблю-" дателя. Встать в позицию внешнего наблюдателя по отношению к социальной системе представляется (даже из чисто теоретических рассуждений) проблематичным. На языке «управляющий - система» это означает, что управляющий включен в систему и, управляя системой, управляет самим собой. Более того, говорить, что управляющий управляет системой, также верно, как и то, что система управляет управляющим.

Одним из наиболее важных результатов такого описания является понимание того, что управление неотделимо от системы и никакая группа-управляющих не составляет изолированного блока. Каждый управляющий находится внутри системы, связан с ней сложной сетью взаимодействий и,; можно сказать, что он управляет собой в структуре системы. Эта замкнутая ситуация лежит в основе многих парадоксов, включая один из древнейших

парадоксов Эпименида о брадобрее, которому было приказано брить тех, кто не бреет себя сам. Проблемы не существует до тех пор, пока не возникает вопрос о том, что делать самому брадобрею. Тогда имеем неразрешимую проблему: если брадобрей будет брить себя сам, то он не должен себя брить, если же он не будет себя брить, то должен себя брить, т.е. из любой из этих посылок следует ее отрицание и, следовательно, утверждение совпадает со своим отрицанием. Аналогичен этому парадокс лжеца: житель острова говорит, что каждый, живущий на острове, - лжец. В математике известен парадокс Рассела: множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Математика объясняет возникновение парадоксов непредикативностью определений, когда то, что определяется, принимает участие в собственном определений. Если наблюдатель является частью наблюдаемой им системы, а управляющий управляет собой в составе организации, то можно увидеть непредикативность и парадоксальность такой ситуации. В этом случае говорят, что имеется семантическая петля, а систему называют операционально замкнутой (или живой). Из этого тупика намечается выход: появляются новые подходы к структурированию ситуаций такого рода на основе современных математических подходов, использующих многозначные логики, нечеткие множества, фрактальные структуры, современные (формальные и неформальные) методы анализа данных и т.п. Операционально замкнутые системы занимают как бы промежуточное положение между открытыми и замкнутыми системами. С одной стороны, они могут реагировать на входной сигнал, что делает их похожими на открытые системы, с другой стороны, они - «непослушные» системы, системы с «характером», с «настроением» или, как говорят, обладают внутренним состоянием. Уместно вспомнить известный из психологии пример, когда, глядя на один и тот же рисунок, одни люди видят профили двух человеческих лиц, расположенных друг против друга, а другие -контур вазы для цветов. Простейшими формальными моделями таких систем являются нетривиальная машина У. Эшби и биологические автоматы известного советского математика М. Цетлина.

Живые системы реагируют на входящий сигнал в зависимости от своего внутреннего состояния. При этом воздействие среды на систему может порождать континуум реакций (т.е. столько реакций, сколько существует точек на прямой), так что с позиций теоретического внешнего наблюдателя такая ситуация может рассматриваться как отсутствие реакции на входящий сигнал (свойство автономии). Считается, что окружающая среда влияет на систему только как источник модуляций, вызывающих спонтанные изменения структуры внутренних связей в ограничениях, налагаемых организацией системы. Поэтому реакции системы на одинаковые, с точки зрения внешнего наблюдателя, воздействия среды могут быть совершенно различными и, вообще говоря, не являться реакциями. Это происходит не только потому, что поведение системы определяется в основном текущим состоянием структуры, невидимой внешнему наблюдателю, но и от того, что некоторый входящий сигнал, зафиксированный наблюдателем, может не восприниматься системой как входящий, и наоборот.

Операционально замкнутая система функционирует согласно двум принципам самоорганизации:

Операционально замкнутая система обладает собственным поведением;

Операционально замкнутая система изменяется путем естественного дрейфа.

Собственное поведение системы - это такое особое состояние системы, которое в процессе функционирования становится результатом стабилизации последовательности ее состояний. Так, если в качестве примера рассматривать процесс обсуждения государственными служащими некоторой проблемы, то собственное поведение системы можно интерпретировать как ситуацию «договоренности» или «разрешения» этой проблемы. Если рассматривать совокупность состояний системы в процессе ее функционирования как бесконечную последовательность, то можно показать, что в качестве своего предела она имеет собственное поведение системы, которое, оказывается, в соответствии с полученным математическим соотношением совпадает с самим процессом, т.е. в смысле математического равенства результат и процесс неразличимы.

Следовательно, возможен двоякий подход к процессам управления и принятия решений: акцент можно делать на формулировании и достижении конечной цели, а можно акцентировать внимание на разумной, правильной в определенном смысле организации самого процесса управления или процесса принятия решения. Первый подход, ориентированный на конечное целе-полагание, находится в концепции регулярного управления, задающего основные стандарты, процедуры и правила управления. Этот подход является достаточно традиционным в теории и практике управления. Второй подход, ориентированный на правильную организацию самого процесса принятия решения и управления, больше соответствует контексту управления изменениями, или управлению в режиме реального времени. Один подход не исключает другой, они только дополняют друг друга, подобно тому, как в физике рассматривается свет и как волна, и как частица.

Эффективность использования на практике того или иного подхода зависит от содержания конкретной проблемы, которую необходимо разрешить. В различных технологиях принятия решений на разных этапах указанные подходы могут применяться как автономно друг от друга, так и переплетаться в разных комбинациях. При этом эволюция процесса представляется как дрейф от одного собственного состояния к другому собственному состоянию

системы. Под естественным дрейфом понимают неустойчивое движение системы в окрестностях ее собственного поведения. Следовательно, эволюционное развитие системы можно рассматривать как движение системы по ее собственным поведениям (значениям). При этом известно, что операционально замкнутая система имеет конечное или счетное число собственных поведений. Таким образом, множество собственных поведений операционально замкнутой системы дискретно, и функционирование системы с позиции теоретического внешнего наблюдателя представляет собой последовательный дискретный переход системы из одного собственного состояния в другое собственное состояние. Такой процесс называют квантованием социальных систем.

Описание функционирования операционально замкнутой системы по своему синтаксису напоминает описание движения электрона в модели атома Н. Бора, где нахождение электрона на орбите соответствует собственному поведению системы, «скачки» с одной орбиты на другую - переходу системы из одного собственного состояния в другое собственное состояние.

Если представить среду как живую систему с самоорганизующимся поведением, становится понятным, что сама система может фактически наделять внешнее окружение собственными значениями. Это также следует из существования прогностического свойства живой системы, связанного с тем, что любое описание, если его рассматривать как реальное, имеет последствия. Или, как утверждает Дж. Сорос, «описание формирует будущее». В связи с этим на основе формирования эффективных прагматических карт участников процесса принятия решений возникает необходимость в генерации «карты будущего», в процессе которой важно не только понять настоящую и желаемую ситуацию, но и пережить некоторый опыт. Это связано с формированием ситуации и созданием условий для возможной самоорганизации системы. Суть самоорганизации заключается в том, что имеются самопорождающиеся структуры, которые порождают карты будущего так, что осуществляют взаимодействие с картой будущего

В качестве иллюстрации того, что такое самоорганизация, можно привести следующий пример. Имеется аудитория с несколькими тысячами человек, каждый из которых держит в руках палку, одна половина которой зеленого, а другая - красного цвета. На зеленом экране изображен круг, а на нем - зеленая «пятерка» - цифра пять зеленого цвета. Лидеры предлагают сидящим в зале посмотреть на экран, а затем, подняв палку зеленым или красным концом вверх, восстановить изображение на экране (после того, как оно было с него убрано). Зал сканируют. Сначала на экране появляются красные и зеленые пятна случайных и неопределенных конфигураций, но менее чем через четыре минуты картина становится устойчивой: изображение на экране восстановлено. На этом примере видно, что хотя никто не мог

даже предположить, каким образом прийти к результату и что задача в принципе решаема, но, представив будущее визуально и задав совершенно конкретно, синтаксически правильно ситуацию, люди в аудитории просто ДАЛИ правильно ответ на вызов лидеров. Они это сделали без всяких инструкций, только за счет ВИДЕНИЯ желаемого результата. Это пример того, как живая система с правильно заданным синтаксисом и «сформированным» желаемым результатом может породить этот результат. Порождают эти системы сначала собственные описания, которые затем становятся собственными значениями (собственными поведениями). Таким образом, результат может быть получен в ответ на вызов с видением результата, с верой и желанием его достичь, с обращением на него внимания других: нужна ясная структура, чтобы выйти на прагматические собственные значения.

Суть «новой парадигмы» состоит в определенном отходе от управленческого рационализма, от изначального убеждения, что успех организации определяется прежде всего рационализацией процессов в ней. Организации необходимо заботиться об адаптивности своих внутренних систем, извлекать максимум выгоды из имеющихся возможностей. В этом случае организационные механизмы приспосабливаются к выявлению новых проблем и выработке новых решений больше, чем к контролю уже принятых ранее. Маневр в распределении ресурсов ценится выше, чем пунктуальность в их расходовании. Организация, агрессивно действующая в своей среде, новаторская в научно-техническом отношении, ориентированная на качество, а не на количество, адаптивная по внутреннему строению своих систем, все в большей степени зависит от человеческого фактора, который неотделим от компетенции, эффекта команды, развертывания систем стратегического управления.

Как отмечено выше, автономная система реагирует на управляющие толчки непредсказуемым образом. Известно также, что результат человеческого действия лишь частично соответствует намерениям и расчету. Типичными примерами ограниченной управляемости социальных систем служат переговоры, обсуждение проблемы, поиск решений группой экспертов. Здесь никто не контролирует ситуацию целиком, скорее сам процесс управляет участниками.

Как говорил всемирно известный английский ученый Cm Бир: «Управление системой есть способность общаться с ней, понимать ее внутренний язык и уметь пользоваться им, будучи компетентным собеседником». Другими словами, надо стремиться, чтобы синтаксис анализа, описания системы и управления ею соответствовали синтаксису функционирования самой системы. Именно это имеют в виду, говоря об экологичности управления. В связи с последним замечанием в рамках современных аналитических технологий, технологий принятия решений и управления социальными системами,

связанными со сменой парадигмы, появляется так называемый экологичный подход к проблеме: от экологии мышления к экологии управления с требованием экологичности каждого описания.

Заметим, что описание системы как открытой или операционально замкнутой порождено наблюдателем. Эти описания не противоречат и не исключают друг друга: каждое из них имеет свою область эффективности. Однако ясно, что такие системы, как экологическая, социальная, геополитическая и другие, могут быть в соответствии с их организацией представлены как операционально замкнутые.

Инструментами анализа и принятия решений в рамках новой парадигмы могут служить методология «мягких» систем, мета-модель, модели «точности», системной технологии вмешательства, организационного развития и другие, а также новые технологии анализа информации, работающие в «мягком» контексте. Это означает, что наряду с применением современного формального (математического) аппарата в управленческих и аналитических исследованиях, а также в самом процессе принятия управленческих решений целесообразно использовать как ресурс профессиональный опыт и интуицию субъектов управления.

Способность получать качественную информацию, представлять ее в полезном виде и эффективно действовать на этой основе - один из самых ценных навыков в управлении социальными процессами. Это особенно важно в условиях динамичного хаотического формирования общественных отношений, когда проведение анализа социальных систем только с помощью формального аппарата не представляется целесообразным и даже возможным. В этих условиях имеет место отход от рациональных методов анализа и механистического описания системы и переход к описанию организации как живой, с «мягкими» и неформальными подходами к ее анализу, принятию решений и управлению такой системой.

Литература

Вир Ст. Мозг фирмы. - М., 1993.

Диев B.C. Управленческие решения: неопределенность, модели, интуиция. -Новосибирск, 1998.

Зотов В. Б. Территориальное управление (методология, теория, практика). -М., 1998.

Капра Ф. Уроки мудрости. - М., 1996.

Купряшин Г.Л., Соловьев A.M. Государственное управление: Учебное пособие. -М., 1996.

Сорос Дж. Алхимия финансов. - М., 1997.

Управление организацией: Учебник / Под ред. А.Г. Поршнева, З.П. Румянцевой, Н.А. Соломатина. - М, 1998.

Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учебное пособие. -М., 1997.

Хайек Ф.А. Пагубная самонадеянность. - М., 1992. Юкаева B.C. Управленческие решения: Учебное пособие. - М., 1999.