Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.
Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения.
Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна
где - равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1, а).
Разложим силу на две составляющие: касательную АТ и нормальную , из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости.
Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается (тау), а интенсивность нормальных сил - нормальным напряжением и обозначается (сигма). Напряжения выражаются формулами
Напряжения имеют размерность и т. д.
Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1, б). Очевидно, что
Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение - интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений а и в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проведенного через эту точку.
Совокупность напряжений , действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой напряженное состояние в этой точке.
Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.
Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальными а и касательными напряжениями (рис. 8.1). Разложим напряжения на составляющие параллельные соответственно осям у и . На площадку действуют элементарные силы параллельные соответственно осям Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки сечения F) на оси и их моменты относительно этих осей определяются выражениями
Зная компоненты напряжений в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям х и у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость параллельную оси так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р.
При рассмотрении условий равновесия малой треугольной призмы объемными силами можно пренебречь как величинами высшего порядка малости. Подобным образом, если вырезанный элемент очень мал, можно пренебречь изменениями напряжений по граням и предположить, что напряжения распределены равномерно. Тогда силы, действующие на треугольную призму, можно определить путем умножения компонент напряжений на площади граней. Пусть - направление нормали к плоскости а косинусы углов между нормалью и осями х и у обозначаются следующим образом:
Тогда, если через А обозначить площадь грани элемента, то площади двух других граней будут .
Если обозначить через X и компоненты напряжений, действующих на грани то условия равновесия призматического элемента приводят к следующим соотношениям:
Таким образом, компоненты напряжений на любой площади, определяемой направляющими косинусами и можно легко найти из соотношений (12), если известны три компоненты напряжения в точке Р.
Обозначим через а угол между нормалью к площадке и осью х, так что тогда из соотношений (12) для нормальной и касательной компоненты напряжений на площадке получим формулы:
Очевидно, угол можно выбрать таким образом, чтобы касательное напряжение на площадке стало равным нулю. Для этого случая получаем
Из этого уравнения можно найти два взаимно перпендикулярных направления, для которых касательные напряжения на соответствующих площадках равны нулю. Эти направления называются главными, а соответствующие нормальные напряжения - главными нормальными напряжениями.
Если за главные направления принять направления осей х и у, то компонента равна нулю и формулы (13) принимают более простой вид
Изменение компонент напряжений а и в зависимости от угла а можно легко представить графически в виде диаграммы в координатах а и Каждой ориентации площадки соответствует точка на этой диаграмме, координаты которой представляют собой значения напряжений действующих на этой площадке. Такая диаграмма представлена на рис. 13. Для площадок, перпендикулярных к главным направлениям, мы получаем точки А и В с абсциссами соответственно. Теперь можно
доказать, что компоненты напряжения для любой площадки определяемой углом а (рис. 12), будут представляться координатами некоторой точки на окружности, для которой отрезок А В является диаметром. Чтобы найти эту точку, достаточно отмерить от точки А в том же направлении, в каком измеряется угол а на рис. 12, дугу, отвечающую углу . Для координат построенной таким образом точки D из рис. 13 получим
Сравнение с формулами (13) показывает, что координаты точки D дают численные значения компонент напряжения на площадке определяемой углом а. Чтобы привести в соответствие знак касательной компоненты, примем, что положительные значения откладываются вверх (рис. 13, а), и будем считать касательные напряжения положительными, когда они дают момент, действующий по направлению часовой стрелки, как это имеет место на гранях элемента (рис. 13, б). Касательные напряжения противоположного направления, например действующие на гранях элемента, считаются отрицательными.
Будем менять ориентацию площадки вращая ее вокруг оси, перпендикулярной плоскости (рис. 12) по направлению часовой стрелки так, что угол а будет изменяться от 0 до при этом точка D на рис. 13 будет перемещаться от А к В. Таким образом, нижняя половина круга определяет изменение напряжений для всех значений а в этих пределах. В свою очередь верхняя часть круга дает напряжения для интервала
Продолжая радиус до точки (рис. 13), т. е. беря угол равным вместо , получаем напряжения на площадке, перпендикулярной площадке (рис. 12). Отсюда видно, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках численно друг другу равны, как это и было доказано ранее. Что касается нормальных напряжений, то мы видим из
рисунка, что т. е. сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, при изменении угла а остается постоянной.
Максимальное касательное напряжение ттах дается на диаграмме (рис. 13) максимальной ординатой окружности, т. е. равно радиусу окружности. Отсюда
Оно действует на площадке, для которой т. е. на площадке, нормаль к которой делит пополам угол между двумя главными направлениями.
Соответствующая диаграмма может быть построена и для случая, когда одно или оба главных напряжения отрицательны, т. е. для случая сжатия. Нужно только величину сжимающего напряжения откладывать в сторону отрицательных абсцисс. На рис. 14, а изображена диаграмма для случая, когда оба главных напряжения отрицательны, на рис. 14, б построена диаграмма для случая чистого сдвига.
Из рис. 13 и 14 видно, что напряжение в любой точке можно разложить на две части. Одна из них представляет собой двухосное растяжение (или сжатие), две компоненты которого равны между собой и по величине определяются абсциссой центра круга Мора.
Другая часть представляет собой чистый сдвиг с касательным напряжением, величина которого дается радиусом круга. При наложении нескольких плоских напряженных состояний равномерные растяжения (или сжатия) можно складывать друг с другом алгебраически. При наложении состояний чистого сдвига нужно учитывать направления плоскостей, на которые действуют соответствующие касательные напряжения. Можно показать, что при наложении друг на друга двух напряженных состояний чистого сдвига, для которых плоскости максимального касательного напряжения находятся под углом друг к другу, получающаяся в результате система сведется к другому случаю чистого сдвига. Например, рис. 15 показывает как определять напряжение, производимое двумя состояниями чистого сдвига с величинами касательных напряжений и на площадке, положение которой определяется углом Первое из этих состояний относится к плоскостям (рис. 15, а), а второе - к плоскостям, наклоненным к плоскостям
Напряжение – численная мера распределения внутренних сил по плоскости поперечного сечения. Его используют при исследовании и определении внутренних сил любой конструкции.
Выделим на плоскости сечения площадку DA ; по этой площадке будет действовать внутренняя сила DR. Величина отношения DR/DA=p ср называется средним напряжением на площадке DA . Истинное напряжение в точке А получим устремив DA к нулю
Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.
Очевидно, что 
. Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей x
и y
(τ zх, τ zу
). Размерность напряжений – Н/м 2 (Па).
17. Понятие о напряжениях. Нормальные и касательные напряжения.
Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Эпюры. Выражение внутренних силовых факторов через нормальные и касательные напряжения.
Внутренние силовые факторы
В процессе деформации бруса, под нагрузкой происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела, в результате чего в нем возникают внутренние силы.
По своей природе внутренние силы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность и совместность деформаций.
Чтобы численно установить величину внутренних сил пользуются методом сечений.
Метод сечений сводится к четырем действиям:
1. Разрезают (мысленно) тело плоскостью в том месте, где нужно определить внутренние силы (рис. 7);
Рис. 7
2. Отбрасывают любую отрезанную часть тела (желательно наиболее сложную), а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии (рис.8);
Рис. 8
3. Приводят систему сил к одной точке (как правило, к центру тяжести сечения) и проецируют главный вектор и главный момент системы внутренних сил на нормаль к плоскости (ось ) и главные центральные оси сечения ( и ).
Полученные силы (N, Qy, Qz) (рис. 9) и моменты (Мк, Мy, Mz) называют внутренними силовыми факторами в сечении
Рис. 9
Для внутренних силовых факторов приняты следующие названия:
-продольная или осевая сила;
И -поперечные силы ;
-крутящий момент ;
И -изгибающие моменты .
4. Находят внутренние силовые факторы, составляя шесть уравнений равновесия статики для рассматриваемой части рассеченного тела.
Эпю́ра (фр. epure - чертёж) - особый вид графика, показывающий распределение величины нагрузки на объект. Например, для стержня продольная ось симметрии берётся за область определения и составляются эпюры для сил, напряжений и разных деформаций в зависимости от абсциссы.
Расчёт эпюр напряжения является базовой задачей такой дисциплины, как сопротивление материалов. В частности, только при помощи эпюры возможно определить максимально допустимую нагрузку на материал.
Для построения ординаты эпюры M в каком либо сечении стержня
необходимо выполнить следующие две операции.
1. С помощью уравнения равновесия ∑M(слева)= 0 для левой отсеченной
части стержневой системы (или ∑M(справа) = 0 для правой части) подсчитать
численное значение изгибающего момента в сечении.
2. Отложить найденное численное значение в виде ординаты перпендикулярно оси стержня со стороны растянутого волокна стержня .
Численное значение изгибающего момента в сечении равно численному значению алгебраической суммы моментов всех сил, действующих на стержневую системус любой одной из сторон сечения , взятых относительно точки на оси сечения.
Составляющую, лежащую в сечении в данной площадке обозначается через и называется касательным напряжением .
Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению – отрицательным.
Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.
Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис. в) Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.
Предполагалось: балка имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 7.11), поэтому
;;
; 
где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной оси x.
Подставляя эти формулы в формулу Журавского, для получим:
Касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратичной параболы (см. рис. 7.11).
При (для наиболее удаленных от нейтральной оси точек) .
Для точек, расположенных на нейтральной оси (при ), 
.
Эпюры касательных напряжений двутаврового сечения
Характерная особенность двутаврового сечения: резкое изменение ширины поперечного сечения (), где полка соединяется со стенкой.
Определим касательное напряжение в некоторой точке K (рис. 7.12), проведя через нее сечение, ширина которого равна толщине стенки: .
Рассмотрим верхнюю отсеченную часть поперечного сечения (заштрихована на рис. 7.12), статический момент инерции которой относительно x равен сумме статических моментов инерции полки и заштрихованной части стенки:
Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения представлена на рис. 7.12, б.
Касательные напряжения , возникающие в точках полки , по формуле Журавского вычислять нельзя , поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только если ширина сечения невелика. Однако очевидно, что касательные напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения показана штриховой линией (см. рис. 7.12, б).
Формула касательного напряжения в точке L (где полка соединяется со стенкой):
Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x.
Эпюры касательных напряжений круглого сечения
Для построения эпюры касательных напряжений круглого сечения выясним направление касательных напряжений при изгибе , возникающих в некоторой точке контура поперечного сечения стержня.
Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня (рис. 7.13, а).
Предположим: в некоторой точке контура К касательное напряжение при изгибе направлено произвольно по отношению к контуру. Разложим касательное напряжение на две составляющие и , направленные соответственно по нормали и касательной к контуру. Если касательное напряжение существует, то по закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно существовать равное ему по значению касательное напряжение при изгибе . Поскольку поверхность стержня свободна от внешних сил, параллельных оси балки z, касательное напряжение на поверхности стержня и, следовательно, .
Таким образом, в точке контура поперечного сечения, поверхность которого не нагружена продольными , касательное напряжение при изгибе направлено по касательной к контуру.
Покажем, что в вершине угла поперечного сечения стержня касательное напряжение равно нулю (рис. 7.13, б).
Предположим, что в вершине угла (в точке M) возникает касательное напряжение . Разложим его на составляющие касательные напряжения и . По
Пример 4.1. Определить нормальное и касательное напряжения в точке К прямоугольного сечения балки (6х14 см), если изгибающий момент в этом сечении М х =–40кНм=–40 кНсм., а поперечная сила равна 20 кН.
Решение. Момент инерции прямоугольного поперечного сечения относительноглавной центральной оси x
.
J x = = =1372 см 4 . .
Ось у направим вниз. Координата точки К равна у к = –4см.
Нормальное напряжение в точке К будет равно
=116,6 МПа.
Касательное напряжение в точке К вычисляем по формуле Журавского.
Статический момент отсечённой части площади сечения равен
Ширина сечения на уровне К равна b(y)= 6см.
Определим касательное напряжение в точке К.
=2,4 МПа.
Пример 4.2. Определить наибольшее растягивающее нормальное и наибольшее касательное напряжения в балке круглого сечения, если в сечении М х = 80 кНм= 80 10 3 кНсм, Q= 60кН.
Диаметр сечения d=14 см.
Решение. Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в нижнем волокне растянутой зоны сечения, т.е. в волокне наиболее удалённом от нейтральной оси х , и определяется по формуле
Наибольшие касательные напряжения возникают в точках сечения на уровне нейтральной оси х , где все касательные напряжения параллельны поперечной силе, и их можно определять по формуле Журавского.
Площадь сечения равна А = = =153,56 см 2 .
Момент сопротивления сечения равен W x = = 269,26см 3 .
Определим значение растягивающего наибольшего нормального
напряжения
=14,86 =148,6 МПа.
Определим значение наибольшего касательного напряжения
=0,52 =5,2МПа.
Пример 4.3.
Определить нормальное и касательное напряжения в точке К на уровне примыкания стенки к полкам стального двутавра (I30), а также наибольшие нормальные и касательные напряжения, если М х
=50 кНм=50 10 2 кНсм, Q
=30 кН.
Решение. Из сортамента балки двутавровые выписываем необходимые данные для двутавра I30.
h = 300мм=30 см, b=135мм=13,5см, d = 6,5 см=0,65 см,
t=10,2 мм=1,02 см.
Площадь сечения А= 46,5 см 2 , момент инерции J х = 7080 см 4 , момент сопротивления W х = 472 см 3 .
Определим значение статического момента площади сечения полки относительно нейтральной оси х .
= 
199,53 см 3 .
На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения